Integrale
Determinare i valori di $alpha$ per cui il seguente integrale improprio è convergente e calcolarlo per $alpha=-1$
$ int_(0)^(1) sqrt(x)/|logx|^alpha dx $
Io ho provato così, innanzitutto la funzione integranda è continua in (0,1) e quindi sia lo 0 che l'1 possono essere possibili punti singolari. Ora ho diviso l'integrale in due, ovvero:
$ int_(0)^(1/2) sqrt(x)/|logx|^alpha dx +int_(1/2)^(1) sqrt(x)/|logx|^alpha dx $
Allora, nel caso in cui x->0 avrei che il tutto è minore di $ 1/|x|^(alpha-1/2) $ che converge se e solo se $ alpha-1/2<1 $
nel caso in cui x->1 avrei che la funzione è sempre asintotica a $ 1/|x|^(alpha-1/2) $
dunque alla fine mi ritrovo che l'integrale converge se e solo se $alpha<3/2$ .. sbaglio in qualcosa? non sono sicura dello svolgimento..
$ int_(0)^(1) sqrt(x)/|logx|^alpha dx $
Io ho provato così, innanzitutto la funzione integranda è continua in (0,1) e quindi sia lo 0 che l'1 possono essere possibili punti singolari. Ora ho diviso l'integrale in due, ovvero:
$ int_(0)^(1/2) sqrt(x)/|logx|^alpha dx +int_(1/2)^(1) sqrt(x)/|logx|^alpha dx $
Allora, nel caso in cui x->0 avrei che il tutto è minore di $ 1/|x|^(alpha-1/2) $ che converge se e solo se $ alpha-1/2<1 $
nel caso in cui x->1 avrei che la funzione è sempre asintotica a $ 1/|x|^(alpha-1/2) $
dunque alla fine mi ritrovo che l'integrale converge se e solo se $alpha<3/2$ .. sbaglio in qualcosa? non sono sicura dello svolgimento..
Risposte
C'è più di un errore. Per prima cosa, vediamo cosa accade per $x\to 0^+$. In questo caso, sappiamo che vale il seguente limite notevole
$$\lim_{x\to 0} x^\beta \log^\alpha x=0$$
per ogni $\alpha>0,\ \beta>0$. Inoltre si vede subito che per $\alpha>0$
$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}}{|\log x|^\alpha}=0$$
in quanto il limite si presenta nella forma $0/\infty$ che non è indeterminata e vale zero. Le due osservazioni fatte ti fanno comprendere che il primo integrale, avendo la funzione infinitesima per ogni possibile scelta di $\alpha$, risulta sempre integrabile.
Passiamo al secondo caso, per $x\to 1^-$. Poiché i limiti notevoli sono comodi quando $x\to 0$, poniamo $t=1-x$ cosicché $t\to 0^+$. Allora possiamo scrivere
$$\frac{\sqrt{x}}{|\log x|^\alpha}=\frac{\sqrt{1-t}}{|\log(1-t)|^\alpha}\sim\frac{1}{|-t|^\alpha}=\frac{1}{t^\alpha}$$
e pertanto c'è convergenza quando $\alpha<1$.
In definitiva l'integrale converge per $\alpha<1$.
$$\lim_{x\to 0} x^\beta \log^\alpha x=0$$
per ogni $\alpha>0,\ \beta>0$. Inoltre si vede subito che per $\alpha>0$
$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}}{|\log x|^\alpha}=0$$
in quanto il limite si presenta nella forma $0/\infty$ che non è indeterminata e vale zero. Le due osservazioni fatte ti fanno comprendere che il primo integrale, avendo la funzione infinitesima per ogni possibile scelta di $\alpha$, risulta sempre integrabile.
Passiamo al secondo caso, per $x\to 1^-$. Poiché i limiti notevoli sono comodi quando $x\to 0$, poniamo $t=1-x$ cosicché $t\to 0^+$. Allora possiamo scrivere
$$\frac{\sqrt{x}}{|\log x|^\alpha}=\frac{\sqrt{1-t}}{|\log(1-t)|^\alpha}\sim\frac{1}{|-t|^\alpha}=\frac{1}{t^\alpha}$$
e pertanto c'è convergenza quando $\alpha<1$.
In definitiva l'integrale converge per $\alpha<1$.
Grazie mille, in certi esercizi faccio errori assurdi..mentre poi sono semplicissimi da svolgere.. grazie ancora 
Prego.
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