Integrale

[chiarnik]

Salve ragazzi ho un problema con quest'integrale, mi potreste aiutare?

$int(x+1)/(x^3+2x^2)dx$
Poi metto $x^2$ in evidenza al denominatore: $int(x+1)/(x^2(x+2))$ ma poi nn so continuare...ho provato a vedere su wolfram e mi porta : $int1/(2x^2)-1/(4(x+2))+1/(4x)$
ma non ho capito da dove escono

[Cuspide83]

Quando si risolve un problema bisogna pensare non usare wolfram...
comunque a numeratore hai un polinomio di grado inferiore al grado del polinomio che sta a denominatore, quindi io direi che puoi utilizzare la "tecnica" che hai studiato nel capitolo integrali di funzioni polinomiali.

[chiarnik]

ahh giusto...la scomposizione in fratti semplici !! si però così non mi è mai capitato come lo devo scomporre? $A/x^2 + B/(x+2)$ però non credo sia corretto

[Obidream]

Prova con:

$A/x+B/x^2+C/(x+2)$

[chiarnik]

grazie =)))

[Brancaleone1]

In generale per risolvere l'integrale di una polinomiale fratta si scompone il denominatore in più termini e al numeratore si inseriscono polinomi di un grado (uno solo!) inferiore al rispettivo denominatore. In questo caso:

$(x+1)/(x^3+2x^2)=(x+1)/(x^2(x+2))=(Ax+B)/x^2+C/(x+2)$

che è il suggerimento fornito da Obidream

[21zuclo]

scusate se mi intrometto, ma per questi integrali polinomiali fratti, il mio esercitatore di Analisi 1, ci aveva insegnato come ricavare i valori di $A, B, C$ senza ricorrere al sistema di n equazione in n incognite.

Ai primi passaggi sicuramente Brancaleone e Obidream, capiranno subito.

allora abbiamo $(x+1)/(x^2(x+2))=(A)/(x)+(B)/(x^2)+C/(x+2)$

ricaviamo $B$ che è più semplice

moltipliciamo ambo i membri per $x^2$ e otteniamo $(x+1)/(x+2)=B+x^2(A/x+(C)/(x+2))$

ok ora diamo un valore alla variabile $x$, per semplicità mettiamo $x=0$

e otteniamo $1/2=B$

stessa cosa facciamo per $A$ e $C$, però in quel caso dobbiamo dare valori alla variabile $x\ne 0$..possiamo benissimo dare $x=1$ e $x=-1$..a voi la scelta..

calcoliamoci $A$

moltiplichiamo ambo i membri per $x$ e otteniamo $(x+1)/(x(x+2))=A+x((1/2)/(x^2)+(C)/(x+2))$

diamo per semplicità $x=1$ e otteniamo $2/3=A+(1/2+C/3)$, va bé svolgi un po' di conti.. e ti troverai un'uguaglianza tra 2 parametri..

poi fai la stessa cosa per $C$ e dai un valore $x\ne 0,1$..puoi dare $x=-1$.. ti ritroverai ancora un'uguaglianza tra 2 parametri..e metti a sistema..

[Cuspide83]

"21zuclo":scusate se mi intrometto, ma per questi integrali polinomiali fratti, il mio esercitatore di Analisi 1, ci aveva insegnato come ricavare i valori di $A, B, C$ senza ricorrere al sistema di n equazione in n incognite.

Ai primi passaggi sicuramente Brancaleone e Obidream, capiranno subito.

allora abbiamo $(x+1)/(x^2(x+2))=(A)/(x)+(B)/(x^2)+C/(x+2)$

ricaviamo $B$ che è più semplice

moltipliciamo ambo i membri per $x^2$ e otteniamo $(x+1)/(x+2)=B+x^2(A/x+(C)/(x+2))$

ok ora diamo un valore alla variabile $x$, per semplicità mettiamo $x=0$

e otteniamo $1/2=B$

stessa cosa facciamo per $A$ e $C$, però in quel caso dobbiamo dare valori alla variabile $x\ne 0$..possiamo benissimo dare $x=1$ e $x=-1$..a voi la scelta..

calcoliamoci $A$

moltiplichiamo ambo i membri per $x$ e otteniamo $(x+1)/(x(x+2))=A+x((1/2)/(x^2)+(C)/(x+2))$

diamo per semplicità $x=1$ e otteniamo $2/3=A+(1/2+C/3)$, va bé svolgi un po' di conti.. e ti troverai un'uguaglianza tra 2 parametri..

poi fai la stessa cosa per $C$ e dai un valore $x\ne 0,1$..puoi dare $x=-1$.. ti ritroverai ancora un'uguaglianza tra 2 parametri..e metti a sistema..

Quello che usi, in modo ancora troppo complicato (è ancora più veloce di come lo fai) è semplicemente un'dentità tra polinomi.
Comunque anche io preferisco ragionare in questo modo che con il sistema di equazioni.