Integrale

[snooze89]

L'integrale da meno infinito a più infinito di:

$\int\int\int(x^2+y^2+z^2)*e^(-(x^2+y^2+z^2)/a) dxdydz$

a me viene $3/2*a^(3/2)*sqrt(pi)$

mentre dovrebbe venire:

$3/2*a^(5/2)*(pi)^(3/2)$

Come l'ho risolto io?

Ho isolato:
$\int x^2*e^(-x^2/a) dx$

Quindi ho operato una sostituzione di variabili:

$c = x/sqrt(a)$
Quindi $x = c*sqrt(a)$,
$x^2 = c^2*a$
e
$dx = sqrt(a)dc$.

Sostituendo nell'integrale ho quindi:

$a*sqrt(a)*\int c^2*e^(-c^2) dc$

L'integrale lo risolvo per integrazione per parti e il risultato dell'integrale è:
$(sqrt(pi))/(2)$

Che darà quindi un risultato per la prima parte dell'integrale:
$a^(3/2)*(sqrt(pi))/(2)$

Visto che i seguenti due integrali si risolvono alla stessa maniera ho pensato di moltiplicare per tre il risultato ottenuto. Il problema è che non torna.
Dove sbaglio?

Grazie mille!

[ciampax]

C'è qualcosa che non mi torna: non puoi isolare così l'integrale, visto che l'esponenziale va moltiplicato per tutte le potenze, e quindi dovresti calcolare la somma degli integrali di queste funzioni

$t^2 e^{-\rho^2/a}$ dove $t$ varia di volta in volta e $\rho$ è la somma dei quadrati di tutte le coordinate.

Ti conviene passare a coordinate sferiche e integrare.