Integrale

[bblack25]

Buongiorno a tutti!!Potreste aiutarmi con questo integrale:

$\int tanx/(sqrt(cosx+1)+3)$

Ho provato delle sostituzioni e a considerare $tanx=((senx)/cosx)$ ma niente..Grazie dell'aiuto!!

[bblack25]

Si già avevo fatto attenzione a tutte queste cose ma il problema è sempre lo stesso

[bblack25]

$\int (tanx)/(sqrt(cosx+1)+3)$

$\int (senx)/((cosx)(sqrt(cosx+1)+3))$

Pongo $cosx=t$

$\int (-dt)/((t)(sqrt(t+1)+3))$

Pongo $u=sqrt(t+1)$

$u^2=t+1$
$t=u^2-1$
$dt=2udu$

$\int-(2udu)/((u^2-1)(u+3))$

$\int-(2udu)/((u+1)(u-1)(u+3))$

$-2\int(udu)/((u+1)(u-1)(u+3))$

e poi ho utilizzato il metodo dei fratti semplici..

[bblack25]

$A/(u+1)+B/(u-1)+C/(u+3)$

$(A(u-1)(u+3)+B(u+1+)(u+3)+C(u+1)(u-1))/((u+1)(u-1)(u+3))$

Quindi:

$(u^2(A+B+C)+u(2A+4B)-(3A+3B-C))/((u+1)(u-1)(u+3))$

$\{ (A+B+C=0),(2A+4B=1),(-3A+3B-C=0):}$

e quindi dovrebbe risultare:

$\{ (A=1/4),(B=-3/8),(C=1/8):}$

Alla fine sostituisco e il risultato finale dovrebbe essere:

$-1/2log(sqrt(cosx+1)+1)+3/4log(sqrt(cosx+1)-1)-1/4log(sqrt(cosx+1)+3)$

[bblack25]

Il fatto è che provavo a derivare la mia primitiva e non mi usciva l'integrale di partenza...si comunque era dovuto ad errori di distrazione.Grazie dell'aiuto!!