Integrabilità...dubbi e perplessità

[angus89]

Allora...
premetto che non sono un tipo che studia poco (data l'evidente semplicità e la banalità delle domande e dell'esercizio che sto per proporre...)
E' solo che sono uno studente che matematica al primo anno che si è avventurato in un corso di introduzione alla teoria delle probabilità per studenti al secondo anno.Arrivo subito al sodo.

Integrabilità su spazi numerabili (e naturalmente discreti)

Domande preliminari:
I teorema di Beppo Levi e il teorema della convergenza dominata presuppongono che la successione di funzioni sia convergente.
Sugli appunti del prof non è specificato ma dovrebbe esser ovvio che si parli di convergenza puntuale giusto?

Vi mostro gli enunciati:






Ok detto questo passo all'esercizio (sicuramente banale)

Allora
Consideriamo la misura $m$ definita sull'insieme dei naturali strettamente positivi tale che $m(k)=k^(-1)$ e consideriamo, per ogni $n$, la funzione $f_n$ definita da:
$f_n=\{(k^(-1/n) \Leftrightarrow k>=n),(0 \Leftrightarrow k 1-Le funzioni $f_n$ sono integrabili rispetto ad $m$?
Risoluzione
la condizione di integrabilità in un insieme numerabile è:
$E={e_1,e_2,...}$ è l'insieme misurabile
$\sum_{i} |f(e_i)|m(e_i) e banalmente si richiede che la serie converga ad un valore finito.

Nel nostro caso abbiamo (facendo le opportune sostituzioni)
$\sum_{k=1}^(oo) 1/(k \root(n)(k))$
per qualsiasi $n$ da un certo punto in poi $k$ sarà più grande e quindi non abbiamo solo somme nulle.
Con un banalissimo confronto con la serie armonica generalizzata si vede che converge per ogni $n$ positivo.

2-Queste funzioni convergono ad un limite $f$, e questo è integrabile?
Allora qui i ragionamenti seguibili son due (uno dei quali o entrambi son sbagliati).
Infatti secondo il primo ragionamento per come è definita la successione essa tende alla funzione nulla.
Non sò quanto sia ragionevole perchè sia $n$ che $k$ tendono ad infinito alla stessa maniera...ma non posso certo dire come ho fatto prima che prima o poi $k$ supera $n$.
Daltronde se potessi dir ciò affermerei che posso riscrivere la condizione di integrabilità:
$\sum_{k=1}^(oo) 1/(k \root(n)(k))$
per $n->oo$ questa banalmente tende alla serie armonica che diverge e dunque non è integrabile.
Quale ragionamento è giusto?Son sbagliati entrambi?

3-Si può passare al limite sotto il segno dell'integrale?
A prima vista direi di no...perchè la successione tende ad una funzione non integrabile e dunque abbiamo una serie divergente.
Sicuramente sbattendoci un pò la testa lo si dimostra per confronto ma non mi viene nulla in mente...ma ad occhio credo sia così.

Ringrazio chiunque avrà il coraggio di leggere tutto.

[holmes1]

Credo che la risoluzione sia il teorema di lebesgue, con f1=g =>|fn|

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