Integrabilità secondo Riemann

[davide940]

Dire se la funzione è Riemann integrabile
$ sin(x) + x -1 $ $ x in [-1,0) $
$ sin(x)+x+1 $ $ x in [0,1] $
è integrabile in [-1,1]
allora io ho pensato
$ -3<=sin(x) + x -1 <=-1 $
$ 1<=sin(x)+x+1 <= 3 $
le due funzioni sono limitate però per essere integrabili è necessario che l'estremo superiore delle somme inferiori sia uguale all'estremo inferiore delle somme superiori.
le somme inferiori della prima sono 3 perchè il minimo è -3 e l'intervallo è ampio -1
le somme superiori invece sono 1 perchè max -1 e invervallo ampio -1
analogamente per la due trovo
somme inferiori 1
somme superiori 3
quindi sup delle somme inferiori è uguale a inf delle somme superiori = 3 la funzione è quindi Riemann integrabile giusto?

[Seneca1]

Per il teorema di Lebesgue-Vitali ti basta verificare che l'insieme dei punti di discontinuità è al più numerabile. Siccome quella funzione è continua sui due sottointervalli $[-1,0)$ , $[0, 1]$ allora è intergrabile secondo Riemann.