Integrabilità secondo Lebesgue della trasformata di Fourier

[kimberly1]

Come posso determinare l'integrabilità secondo Lebesgue della trasformata di Fourier?
Ho cambiato la parte esponenziale con la formula del seno e del coseno, ho diviso la parte reale da quella immaginaria e ora so che se dimostro l'integrabilità di ciascuna delle due parti saprò che l'intera trasformata è integrabile.
So che ognuna delle due parti è misurabile, dovrei dimostrare che il valore assoluto è integrabile. Sapendo anche che f(y) è integrabile.
Quindi ho da dimostrare che il valore assoluto di f(y)cos(2(Pi)xy) è integrabile così come quello di -f(y)i(sin(2(Pi)xy))
ma non so come fare! Sono il seno e il coseno ovviamente integrabili secondo Lebesgue? Come lo dimostro?
E soprattutto posso dire che la moltiplicazione di funzioni integrabili è integrabile?

[ViciousGoblin]

"kimberly":Come posso determinare l'integrabilità secondo Lebesgue della trasformata di Fourier?
Ho cambiato la parte esponenziale con la formula del seno e del coseno, ho diviso la parte reale da quella immaginaria e ora so che se dimostro l'integrabilità di ciascuna delle due parti saprò che l'intera trasformata è integrabile.
So che ognuna delle due parti è misurabile, dovrei dimostrare che il valore assoluto è integrabile. Sapendo anche che f(y) è integrabile.
Quindi ho da dimostrare che il valore assoluto di f(y)cos(2(Pi)xy) è integrabile così come quello di -f(y)i(sin(2(Pi)xy))
ma non so come fare! Sono il seno e il coseno ovviamente integrabili secondo Lebesgue? Come lo dimostro?
E soprattutto posso dire che la moltiplicazione di funzioni integrabili è integrabile?

Ho l'impressione che tu non possa

Se $f$ e' integrabile la sua trasformata e' una funzione continua che tende a zero all'infinito, ma in generale non e' integrabile - a meno che tu non sappia qualcosa in piu' su
(sulla regolarita') di $f$