Integrabilità per discontinuità di 2\(^\text{a}\) specie

[DavideGenova1]

Ciao, amici! So che una funzione continua su $[a.b]$ eccetto per un numero finito di discontinuità a salto o eliminabili è integrabile su tale intervallo. Mi chiedevo se lo stesso valga anche per discontinuità di seconda specie, in un numero finito di punti, purché la funzione sia limitata su $[a,b]$, cioè discontinuità in punti in cui la funzione non possieda almeno uno dei due limiti destro o sinistro.
La domanda mi si pone perché mi sembra che l'ipotesi possa spiegare perché la funzione \(K(s,-)x(-)\) di questo teorema è integrabile...
$\infty$ grazie!!!

[ciampax]

Basta ceh sia asintotica ad una cosa del tipo $1/{(x-a)^\alpha$ dove $a$ è il punto di discontinuità e $\alpha<1$.

[DavideGenova1]

Grazie!!! Mmh... Quindi bisognerebbe mica restringere un po' le ipotesi di discontinuità della funzione $K$ sotto l'integrale (1) del teorema (che, se non è visualizzabile alla prima, facendo reload dovrebbe comparire)?
$\infty$ grazie ancora!

[ciampax]

Scusa davide, non avevo visto il teorema. Ma hai letto che la prima richiesta è che $K$ sia limitato? Come fa ad avere discontinuità di seconda specie???

[DavideGenova1]

Intendevo dire se $K$ è limitata, ma \(K(s,-)\) non possieda per qualche $t$ limite destro o sinistro (che il mio testo di analisi, vol. 1, chiama di seconda specie come quando la funzione non è limitata)... $\infty$ grazie ancora!!!

[ciampax]

Aspetta, mi sa che non ci capiamo. Il fatto che $K$ sia limitato, ti dice che può avere solo due tipi di discontinuità: o di prima specie o di terza, quelle con limite ad infinito non ci possono essere. Ora, sinceramente, non ho capito bene cosa il libro definisca come "seconda specie", ma non mi pare che sia il caso di avere limite infinito, o sbaglio?

[DavideGenova1]

Grazie di nuovo!!! No, no, il testo su cui ho imparato i nomi delle specie di discontinuità chiama di seconda quelle che chiami di terza. Intendo per esempio qualcosa del genere:

\[K(s_0,t) = \begin{cases} \sin\frac{\pi}{t}, &t\ne 0\\ 0, & t=0\end{cases}\]

[ciampax]

Ah, ok, ma comunque la limitatezza basta.

[DavideGenova1]

Intuitivamente ci sono: l'area sotto il grafico... Rigorosamente come si può mostrare? $\infty$ grazie!

[ciampax]

Valore assoluto dell'integrale minore dell'integrale del valore assoluto minore di una costante?

[DavideGenova1]

Ehm... sì. Grazie di cuore!