Integrabilità funzioni discontinue

bestiedda2
un classico....

1) dimostrare che una funzione limitata con un numero finito di punti di discontinuità è integrabile secondo Riemann.
2) dimostrare che una funzione limitata con un'infinità numerabile di punti di discontinuità è intebrabile secondo Riemann.

ecco, io la prima l'ho dimostrata così, non so se è corretta o se comunque c'è un modo più semplice...

DIM. 1 : sia [tex]f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] e limitata in [tex][m,M][/tex], e supponiamo per semplicità che possieda un unico punto di discontinuità [tex]c[/tex]. Vogliamo dimostrare che, [tex]\forall \epsilon > 0[/tex] esiste una suddivisione [tex]D[/tex] del dominio tale che[tex]S(D,f)-s(D,f) < \epsilon[/tex] (la differenza fra somma superiore e somma inferiore relativa alla suddivisione sia piccola a piacere). Ora, dato che [tex]\forall k > 0[/tex] la funzione è uniformemente continua nei compatti [tex][a,c-k][/tex] e [tex][c+k,b][/tex], allora, fissato [tex]\epsilon[/tex] , [tex]\exists \delta_1 t.c. |x' - x"|<\delta_1 \Rightarrow |f(x')-f(x")|<\frac{\epsilon}{3(c-k-a)}[/tex] e [tex]\exists \delta_2 t.c. |x' - x"|<\delta_2 \Rightarrow |f(x')-f(x")|< \frac{\epsilon}{3(b-c-k)}[/tex]. Inoltre, in [tex][c-k,c+k][/tex] l'oscillazione della funzione è [tex]\leq M-m[/tex], dunque [tex](c+k-(c-k))\Delta f \leq 2k \cdot (M-m)[/tex]. Scegliamo allora [tex]k=\frac{\epsilon}{6(M-m)}[/tex] e consideriamo una suddivisione [tex]D(x_i)[/tex] tale che [tex]c-k=x_{j-1}
Può andare?

Ma soprattutto, come dimostro il punto 2?

Risposte
gugo82
Visto che lo conosco, userei il classico teorema di Vitali-Lebesgue.

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