Integrabilità funzione di Dirichlet

[KatieP]

Nei miei appunti ho trovato una spiegazione sulla non Integrabilità della funzione di Dirichlet che mi ha lasciata perplessa: viene dimostrato che non è integrabile mostrando che è discontinua in ogni suo punto e quindi in un insieme di misura non nulla secondo Peano Jordan (cioè non è quasi ovunque continua secondo Peano Jordan) . Ma io so solo che se una funzione quasi ovunque continua secondo PJ, allora è integrabile. Quindi conosco una condizione sufficiente all'integrabilità: questo non mi assicura che non possano esistere funzioni discontinue in un insieme di misura non nulla, ma integrabili. Mi sbaglio? Ovviamente si può dimostrare che la funzione di Dirichlet non è integrabile anche calcolando le somme integrali superiori e inferiori, ma sarei interessata a capire questa dimostrazione sulla discontinuità in particolare..grazie mille

[gugo82]

Le strade sono due.

O si nota che l'integrale coincide con le misura del rettangoloide (poiché la funzione è positiva) e si ricava un assurdo, poiché il rettangoloide non è misurabile secondo Peano-Jordan.

Oppure, si usa il Teorema di Vitali-Lebesgue per garantire che la funzione non è integrabile secondo Riemann (perché lo sarebbe se e solo se l'insieme delle sue discontinuità avesse misura di Lebegue nulla).

[KatieP]

Perfetto, grazie mille