Integrabilità di funzioni continue
salve ragazzi, premetto che ho cercato nella sezione adatta lo svolgimento di tale teorema ma purtroppo non l'ho trovato nonostante abbia utilizzato la ricerca avanzata!!
comunque volevo chiarire alcuni dubbi che mi sono sorti su questo teorema!! il primo dubbio mi sovviene sulla definizione di uniforme continuità, mi spiego meglio:
Definizione: Si dice che $f:I->RR$ è unif. cont. in $IsubeRR$ se: $AA \epsilon>0, EE\delta(\epsilon)>0 : AAx,x_1 in I$;
$|x-x_1|<\delta=>|f(x)-f(x_1)|<\epsilon$
il concetto di uniforme continuità mi è abbastanza chiaro nel senso che l'unif. continuità dipende dalla variazione $\epsilon$ ma non capisco perchè non dipenda dal punto ed inoltre la differenza con la contuinità normale!! inoltre che significa il termine "maggiorato"?
ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a comprenderlo!!
comunque volevo chiarire alcuni dubbi che mi sono sorti su questo teorema!! il primo dubbio mi sovviene sulla definizione di uniforme continuità, mi spiego meglio:
Definizione: Si dice che $f:I->RR$ è unif. cont. in $IsubeRR$ se: $AA \epsilon>0, EE\delta(\epsilon)>0 : AAx,x_1 in I$;
$|x-x_1|<\delta=>|f(x)-f(x_1)|<\epsilon$
il concetto di uniforme continuità mi è abbastanza chiaro nel senso che l'unif. continuità dipende dalla variazione $\epsilon$ ma non capisco perchè non dipenda dal punto ed inoltre la differenza con la contuinità normale!! inoltre che significa il termine "maggiorato"?
ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a comprenderlo!!
Risposte
Hai provato a guardare qui, per la continuità uniforme?
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
ok dissonance grazie per il primo dubbio ma per quanto riguarda il teorema? cioè come si ha la relazione:
$|f(x)-f(x')|<(\epsilon)/(b-a)$ ?????
EDIT: il guaio è che la prof non ce l'ha spiegato bene e ha detto che dovevamo solo saperlo per analisi 2 ed infatti nel programma non ha scritto che dovevamo studiare il teorema per dimostrare che una funzione limitata è integrabile...indispensabile per dimostrare questo teorema!! l'assistente me l'ha kiesta e mi ha messo non pochi dubbi in testa vi chiedo perfavore di potermi aiutare a togliermeli!!
$|f(x)-f(x')|<(\epsilon)/(b-a)$ ?????
EDIT: il guaio è che la prof non ce l'ha spiegato bene e ha detto che dovevamo solo saperlo per analisi 2 ed infatti nel programma non ha scritto che dovevamo studiare il teorema per dimostrare che una funzione limitata è integrabile...indispensabile per dimostrare questo teorema!! l'assistente me l'ha kiesta e mi ha messo non pochi dubbi in testa vi chiedo perfavore di potermi aiutare a togliermeli!!
Quando c'è un epsilon di mezzo maggiore di 0, qualunque numero moltiplichi o divida l'epsilon, non cambia nulla. La relazione è stata scritta in quel modo per far "tornare i conti" nella dimostrazione.
mah..a dire la verità l'assitente ha fatto riferimento ad una cosa riguardo alla "maggiorazione" ma non capivo e non capisco ancora di cosa parlava!!
EDIT: giusto per essere più chiari io mi sto basando sulla dimostrazione del mio libro di testo di Marcellini-Sbordone!!! (scusatemi ma non voglio fare spam è solo per intenderci qualora ci fossero altre dimostrazioni dello stesso teorema in giro)
EDIT: giusto per essere più chiari io mi sto basando sulla dimostrazione del mio libro di testo di Marcellini-Sbordone!!! (scusatemi ma non voglio fare spam è solo per intenderci qualora ci fossero altre dimostrazioni dello stesso teorema in giro)
Ma stai parlando del teorema che dice "se una funzione è continua in un intervallo chiuso allora è integrabile secondo Riemann"??
"paolotesla91":???
EDIT: il guaio è che la prof non ce l'ha spiegato bene e ha detto che dovevamo solo saperlo per analisi 2 ed infatti nel programma non ha scritto che dovevamo studiare il teorema per dimostrare che una funzione limitata è integrabile...indispensabile per dimostrare questo teorema!! l'assistente me l'ha kiesta e mi ha messo non pochi dubbi in testa vi chiedo perfavore di potermi aiutare a togliermeli!!
Non si capisce niente, Paolo. Cerca di essere più chiaro nelle tue domande, sennò come si fa a rispondere? E stai attento a quello che dici:
una funzione limitata è integrabilequesto è falsissimo.
ragazzi mi riferisco a questo teorema:
Una funzione $f$ limitata in $[a,b]$ è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se, esiste una partizione P di punti di [a,b] tale che:
$S(P)-s(P)<\epsilon$ dove $S(P)$ e $s(P)$ non sono le somme integrali inferiore e superiore come io credevo!!! comunque dissonance io posso postare tutta la dimostrazione(integrabilità di funzioni continue) se volete in modo da non creare equivoci!!
EDIT: no soscia questo teorema a dire la verità è la pima volta che lo vedo!! comunque questo che ho scritto è preso dal libro testualmente!!
Una funzione $f$ limitata in $[a,b]$ è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se, esiste una partizione P di punti di [a,b] tale che:
$S(P)-s(P)<\epsilon$ dove $S(P)$ e $s(P)$ non sono le somme integrali inferiore e superiore come io credevo!!! comunque dissonance io posso postare tutta la dimostrazione(integrabilità di funzioni continue) se volete in modo da non creare equivoci!!
EDIT: no soscia questo teorema a dire la verità è la pima volta che lo vedo!! comunque questo che ho scritto è preso dal libro testualmente!!
Il teorema dice che per ogni epsilon esiste una partizione P tale che ecc., quindi quelle sono le somme inferiori e superiori relative a quella partizione..
infatti solo che nella dimostrazione si parla di una maggiorazone che nn ho capito ne a cosa si riferisce ne che cosa sia!!!
Guarda la sto studiando ora e sinceramente non ci vedo queste maggiorazioni impossibili da capire.. Devi dimostrare entrambe le frecce perchè è un se e solo se; quindi, se f è integrabile devi dimostrare che per ogni P esiste un epsilon (e lì la maggiorazione che puoi aver visto è semplicemente sulla definizione di funzione integrabile), viceversa se per ogni epsilon esiste P devi dimostrare che f è integrabile e quindi arrivare alla definizione ( e in questo caso è veramente banale!). Magari tu hai una dimostrazione leggermente diversa che può averti incasinato le idee non so..
allora facciamo così mi armo di molta pazienza e scrivo tutta la dimostrazione così forse capite dove ho problemi a capire:
Dimostrazione: Sia $f(x)$ continua in $[a,b]$. Allora $f(x)$ è integr. secondo Riemann in [a,b].
Per Cantor f se è continua è unif.continua dunque: Fissato $\epsilon>0, EE \delta(\epsilon)>0 : |f(x)-f(x')|<(\epsilon)/(b-a)$
$AA x,x' in [a,b]: |x-x'|<\delta$
Se p è una partizione dell'intervallo, cioè $P={x_0,x_1,x_2.......x_n}$ con $x_0=a, x_n=b: |x_k-x_(k-1)|<\delta$ per k=1,2,3... . Posto:
$m_k= inf {f(x): x in [x_(k-1),x_k]}$ sono inf e sup ma non capisco perchè non li porta in formula
$M_k= sup {f(x): x in [x_(k-1),x_k]}$
si ha:
$M_k-m_k<(\epsilon)/(b-a)$ $AA k=1,..,n$
perciò:
$S(P)-s(P)=sum_(k = 1)^(n)(M_k-m_k)(x_k-x_(k-1))<(\epsilon)/(b-a)*sum_(k = 1)^(n)(x_k-x_(k-1))=\epsilon$
dal teorema cui ho fatto riferimento prima segue la tesi!!! non ho capito cosa sia quel $b-a$!!!
Dimostrazione: Sia $f(x)$ continua in $[a,b]$. Allora $f(x)$ è integr. secondo Riemann in [a,b].
Per Cantor f se è continua è unif.continua dunque: Fissato $\epsilon>0, EE \delta(\epsilon)>0 : |f(x)-f(x')|<(\epsilon)/(b-a)$
$AA x,x' in [a,b]: |x-x'|<\delta$
Se p è una partizione dell'intervallo, cioè $P={x_0,x_1,x_2.......x_n}$ con $x_0=a, x_n=b: |x_k-x_(k-1)|<\delta$ per k=1,2,3... . Posto:
$m_k= inf {f(x): x in [x_(k-1),x_k]}$ sono inf e sup ma non capisco perchè non li porta in formula
$M_k= sup {f(x): x in [x_(k-1),x_k]}$
si ha:
$M_k-m_k<(\epsilon)/(b-a)$ $AA k=1,..,n$
perciò:
$S(P)-s(P)=sum_(k = 1)^(n)(M_k-m_k)(x_k-x_(k-1))<(\epsilon)/(b-a)*sum_(k = 1)^(n)(x_k-x_(k-1))=\epsilon$
dal teorema cui ho fatto riferimento prima segue la tesi!!! non ho capito cosa sia quel $b-a$!!!
A parte che questo è un altro teorema! comunque, come ti dicevano prima, quel b-a è messo in modo assolutamente arbitrario, in modo che dopo, quando il b-a salta fuori per moltiplicare il tuo epsilon, i due si semplificano. Ma in realtà poteva benissimo non esserci, e concludere la dimostrazione dicendo che la differenza tra le due somme era minore di epsilon(b-a), che è comunque un numero arbitrario.. Per esempio sul mio libro la dimostrazione è uguale alla tua, con la sola differenza che non viene messo quel b-a che a te confonde le idee!
ahhh adesso ho capito forse cioè: quel b-a si semplifica perchè nella somma al secondo membro l'intervallo diventa proprio b-a che si smeplifica okok grazie anke se la prof voleva una risposta diversa ma comunque l'importante è che ho superato l'esame!!
ahah beh ma se te lo chiedono ad analisi I sono un po' stronzi dai! com'è andato? comunque si esatto la sommatoria diventa b-a, ma quell'epsilon poteva anche benissimo essere epsilon e basta, senza essere diviso per b-a!
ah sisi lo so delel vere stronze(mi scuso ma è il termine + appropriato) comunque mi stavano mettendo 26 però quando mi ha chiesto questo teorema ha cominciato a mettermi in difficoltà e sn sceso a 24.. che ho comunque accettato siccome so che è difficile e comunque mi ha tolto moooooolto tempo
Il mio prof mi ha intimato di non azzardarmi a rifiutare il voto, ma l'orale è andato veramente male! :S ora analisi 2 lo voglio fare bene! Dai sotto con gli integrali di Riemann e basta OT!
Mah. Voi dite che se uno vi chiede di dimostrare che una funzione continua è integrabile secondo Riemann allora è "uno stronzo"? E che cosa bisognerebbe chiedere all'esame, scusate? La tabellina del due?
Poi, detto brutalmente, caro Paolo sei stato promosso, e anche con 24 quindi non con il minimo, ma non ci siamo proprio. Fai confusione su concetti proprio elementari. Ad esempio quello che prima volevi dimostrare come "teorema" è in realtà la "definizione" di funzione integrabile secondo Riemann. Almeno credo visto che neanche tu sembri sapere cosa stai dicendo.
Io ti consiglio di fare tabula rasa, prendere un buon libro di Analisi 1 e studiartelo con calma. Perderai un po' di tempo, ma è davvero necessario: non puoi continuare a studiare con una preparazione così insufficiente.
Poi, detto brutalmente, caro Paolo sei stato promosso, e anche con 24 quindi non con il minimo, ma non ci siamo proprio. Fai confusione su concetti proprio elementari. Ad esempio quello che prima volevi dimostrare come "teorema" è in realtà la "definizione" di funzione integrabile secondo Riemann. Almeno credo visto che neanche tu sembri sapere cosa stai dicendo.
Io ti consiglio di fare tabula rasa, prendere un buon libro di Analisi 1 e studiartelo con calma. Perderai un po' di tempo, ma è davvero necessario: non puoi continuare a studiare con una preparazione così insufficiente.
ah tu devi dare analisi 2?
Beh ma dissonance, da quello che ho capito la Riemann-integrabilità fa parte del suo programma di analisi II e chiederla all'orale di analisi I è un po' da infami no? Almeno per me è così (gli integrali si fanno in analisi 2, unimi), ma magari ho inteso male il tutto! Comunque analisi 2 io ce l'ho a giugno, con molta calma sto iniziando a studiare
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