Integrabilità delle funzioni monotone
dove posso trovare il processo?grazie
Risposte
"carminiello84":
dove posso trovare il processo?grazie
In qualche aula di tribunale?
Il risultato che citi è tutt'altro che banale.
La dimostrazione (processo è bruttina come espressione in Matematica...) è una semplice applicazione del Teorema di Vitali-Lebesgue:
Una funzione $f:[a,b]to RR$ limitata è integrabile (secondo Riemann) su $[a,b]$ se e solo se ha misura nulla secondo Lebesgue l'insieme degli eventuali punti di discontinuità di $f$ in $[a,b]$.
Invero, se $f:[a,b]to RR$ oltre che limitata è anche monotona in $[a,b]$, allora l'insieme $Asubset [a,b]$ degli eventuali punti di discontinuità di $f$ (tutte di prima specie ovviamente) è al più numerabile; dato che tutti gli insiemi numerabili hanno misura nulla secondo Lebesgue, dal Teorema di Vitali-Lebesgue segue immediatamente che $f$ è integrabile (secondo Riemann) su $[a,b]$.
Se cerchi una dimostrazione si può utilizzare il seguente teorema:
Se f è limitata in [a,b] di R è integrabile secondo Riemann in [a,b] iff per ogni $\epsilon>0$ esiste una partizione P di [a,b] tale che la differenza tra le somme integrali superiori e inferiori di f sulla partizione è minore di $\epsilon$
Costruisco la partizione $P_n$ dividendo l'intervallo [a,b] in n parti uguali di ampiezza $\frac{b-a}{n}$ poi considero la differenza delle somme integrali $S(P_n)-s(P_n)=(b-a)/n\sum_{k=1}^{n}(M_k-m_k)=\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))\to 0$ supposto f crescente e $ M_k m_k $sono i massimi e minimi che la funzione assume negli intervalli della partizione.
Se f è limitata in [a,b] di R è integrabile secondo Riemann in [a,b] iff per ogni $\epsilon>0$ esiste una partizione P di [a,b] tale che la differenza tra le somme integrali superiori e inferiori di f sulla partizione è minore di $\epsilon$
Costruisco la partizione $P_n$ dividendo l'intervallo [a,b] in n parti uguali di ampiezza $\frac{b-a}{n}$ poi considero la differenza delle somme integrali $S(P_n)-s(P_n)=(b-a)/n\sum_{k=1}^{n}(M_k-m_k)=\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))\to 0$ supposto f crescente e $ M_k m_k $sono i massimi e minimi che la funzione assume negli intervalli della partizione.
Condivido la dimostrazione di asciutt, non serve scomodare l'integrazione di Lebesgue per dimostrare questo risultato, che non sarà banale però non è nemmeno così complicato. E' un Teorema standard di un corso di Analisi 1.
"asciutt":
Se cerchi una dimostrazione si può utilizzare il seguente teorema:
Se f è limitata in [a,b] di R è integrabile secondo Riemann in [a,b] iff per ogni $\epsilon>0$ esiste una partizione P di [a,b] tale che la differenza tra le somme integrali superiori e inferiori di f sulla partizione è minore di $\epsilon$
Costruisco la partizione $P_n$ dividendo l'intervallo [a,b] in n parti uguali di ampiezza $\frac{b-a}{n}$ poi considero la differenza delle somme integrali $S(P_n)-s(P_n)=(b-a)/n\sum_{k=1}^{n}(M_k-m_k)=\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))\to 0$ supposto f crescente e $ M_k m_k $sono i massimi e minimi che la funzione assume negli intervalli della partizione.
"Luca.Lussardi":
Condivido la dimostrazione di asciutt, non serve scomodare l'integrazione di Lebesgue per dimostrare questo risultato, che non sarà banale però non è nemmeno così complicato. E' un Teorema standard di un corso di Analisi 1.
Vi devo dire la verità... ieri sera ero talmente stanco che non ci avevo nemmeno pensato!
Ero reduce da una mattinata di integrazioni per parti, passaggi su passaggi, per dimostrare le formule di rappresentazione della soluzione dell'eq. delle onde in $RR^n times [0,+oo[$: quindi ho preferito dare una soluzione che non richiedesse alcuna manipolazione di formule.
Provo a contribuire, analizzando il problema in maniera piu lenta e forse noiosa:
(mi scuso in anticipo se ho scritto qualcosa di scorretto, e se ho riesumato un thread morto)
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Se $f$ e' limitata su $[a,b]$, e' integrabile secondo Riemann in $[a,b] \iff \forall \epsilon >0$ esiste una partizione P di $[a,b]$ tale che la differenza fra la somma superiore $S(P_n)$ e quella inferiore $s(P_n)$ sia $< \epsilon$. Quindi e' necessario che $\lim_{n\to \infty}S(P_n) - s(P_n) = 0.$
Costruisco la partizione $P_n$, dividendo l'intervallo $[a,b]$ in $n$ sub-intervalli di eguale $\frac{b-a}{n}$ dimensione.
Definisco $m_i$ come il minimo valore della funzione $f$ in $[x_{i-1},x_i]$:
$m_i$ = $f(x_{i-1})$ se $f$ e' crescente. $m_i$ = $f(x_{i})$ se $f$ e' decrescente.
Definisco $M_i$ come il massimo valore della fuzione $f$ in $[x_{i-1},x_i]$:
$M_i$ = $f(x_{i})$ if $f$ is increasing. $M_i$ = $f(x_{i-1})$ if $f$ is decreasing.
Posso ora definire la somma inferiore $s(P_n)$ e superiore $S(P_n)$:
$s(P_n) = \sum_{i=1}^{n}m_i(x_{i}-x_{i-1})$
$S(P_n) = \sum_{i=1}^{n}M_i(x_{i}-x_{i-1})$
Quindi: $S(P_n) - s(P_n) \leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}M_i(x_{i}-x_{i-1}) - \sum_{i=1}^{n}m_i(x_{i}-x_{i-1})$
Siccome $(x_{i}-x_{i-1}) = \frac{b-a}{n}$ ed e' costante, posso scrivere anche:
$(\frac{b-a}{n})[\sum_{i=1}^{n}M_i - \sum_{i=1}^{n}m_i].$
Se $f$ e' CRESCENTE:
$(\frac{b-a}{n})[\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) - \sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})] \leftrightarrow (\frac{b-a}{n})[\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) - \sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i})] \leftrightarrow$
$(\frac{b-a}{n})[f(x_{n}) - f(x_{0})] \leftrightarrow (\frac{b-a}{n})[f(x_{b}) - f(x_{a})].$
Ora ho che: $ S(P_n) - s(P_n) \leftrightarrow (\frac{b-a}{n})[f(x_{b}) - f(x_{a})]$
$\lim_{n\to \infty}S(P_n) - s(P_n) \leftrightarrow \lim_{n\to \infty}(\frac{b-a}{n})[f(x_{b}) - f(x_{a})].$
e $\lim_{n\to \infty}(\frac{b-a}{n})[f(x_{b}) - f(x_{a})]$ e' ovviamente $0$, essendo della forma $\lim_{n\to \infty}{\frac{numero}{n}}$.
Se $f$ e' DECRESCENTE:
$(\frac{b-a}{n})[\sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1}) - \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})]$
...(stesso procedimento)
(mi scuso in anticipo se ho scritto qualcosa di scorretto, e se ho riesumato un thread morto)
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Se $f$ e' limitata su $[a,b]$, e' integrabile secondo Riemann in $[a,b] \iff \forall \epsilon >0$ esiste una partizione P di $[a,b]$ tale che la differenza fra la somma superiore $S(P_n)$ e quella inferiore $s(P_n)$ sia $< \epsilon$. Quindi e' necessario che $\lim_{n\to \infty}S(P_n) - s(P_n) = 0.$
Costruisco la partizione $P_n$, dividendo l'intervallo $[a,b]$ in $n$ sub-intervalli di eguale $\frac{b-a}{n}$ dimensione.
Definisco $m_i$ come il minimo valore della funzione $f$ in $[x_{i-1},x_i]$:
$m_i$ = $f(x_{i-1})$ se $f$ e' crescente. $m_i$ = $f(x_{i})$ se $f$ e' decrescente.
Definisco $M_i$ come il massimo valore della fuzione $f$ in $[x_{i-1},x_i]$:
$M_i$ = $f(x_{i})$ if $f$ is increasing. $M_i$ = $f(x_{i-1})$ if $f$ is decreasing.
Posso ora definire la somma inferiore $s(P_n)$ e superiore $S(P_n)$:
$s(P_n) = \sum_{i=1}^{n}m_i(x_{i}-x_{i-1})$
$S(P_n) = \sum_{i=1}^{n}M_i(x_{i}-x_{i-1})$
Quindi: $S(P_n) - s(P_n) \leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}M_i(x_{i}-x_{i-1}) - \sum_{i=1}^{n}m_i(x_{i}-x_{i-1})$
Siccome $(x_{i}-x_{i-1}) = \frac{b-a}{n}$ ed e' costante, posso scrivere anche:
$(\frac{b-a}{n})[\sum_{i=1}^{n}M_i - \sum_{i=1}^{n}m_i].$
Se $f$ e' CRESCENTE:
$(\frac{b-a}{n})[\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) - \sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})] \leftrightarrow (\frac{b-a}{n})[\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) - \sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i})] \leftrightarrow$
$(\frac{b-a}{n})[f(x_{n}) - f(x_{0})] \leftrightarrow (\frac{b-a}{n})[f(x_{b}) - f(x_{a})].$
Ora ho che: $ S(P_n) - s(P_n) \leftrightarrow (\frac{b-a}{n})[f(x_{b}) - f(x_{a})]$
$\lim_{n\to \infty}S(P_n) - s(P_n) \leftrightarrow \lim_{n\to \infty}(\frac{b-a}{n})[f(x_{b}) - f(x_{a})].$
e $\lim_{n\to \infty}(\frac{b-a}{n})[f(x_{b}) - f(x_{a})]$ e' ovviamente $0$, essendo della forma $\lim_{n\to \infty}{\frac{numero}{n}}$.
Se $f$ e' DECRESCENTE:
$(\frac{b-a}{n})[\sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1}) - \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})]$
...(stesso procedimento)
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