Integrabilità delle funzioni continue (due variabili)
Salve. Non riesco a comprendere la parte finale della dimostrazione di questo teorema (il libro è Giusti - Analisi 2). Il resto credo di averlo capito bene. Ve la riporto (chiedo venia se non scrivo tutti i formalismi):
"Sia $ f $ una funzione continua in un rettangolo chiuso $ R $ , e sia $ E $ un insieme misurabile contenuto in $ R $ . Allora $ f $ è integrabile in $ E $.
DIM: bisogna dimostrare che la funzione $ f_(varphiE) $ è integrabile. Per il teorema di Weierstrass, la funzione $ f $ è uniformemente continua in $ R $ : dunque $ f $ ha in $ R $ massimo $ M $ e minimo $ m $ e inoltre per ogni $ epsilon>0 $ $ EE delta >0: $ se si suddivide $ R $ in rettangoli $ R_(hk) $ di diametro minore di $ delta $ , risulta in ognuno di essi:
$ M_(hk)-m_(hk)
L'insieme $ E $ è misurabile, e dunque per ogni $ epsi>0 $ esiste una suddivisione di $ R $ in rettangoli $ R_(hk) $, che potremo supporre di diametro minore di $ delta $ , tale che la somma delle misure di quelli che hanno almeno un punto in comune con $ partial E $ sia minore di $ epsi $ . I rettangoli $ R_(hk) $ si possono ripartire in 3 categorie (qui le lettere non erano A, B, C, le ho usate io per semplificarmi un po' la vita):
-l'insieme $ A $ dei rettangoli che sono contenuti all'interno di $ E $ ;
-l'insieme $ B $ dei rettangoli che hanno almeno un punto in comune con la frontiera $ partial E $ ;
-l'insieme $ C $ dei rettangoli restanti, ovvero quelli che hanno punti in comune nè con $ E $ nè con $ partial E $ .
Per quanto detto sopra, la somma delle misure dei rettangoli dell'insieme $ B $ è minore di $ epsi $ : $ sum_(R_(hk)in B) mis(R_(hk))
Definiamo ora una funzione maggiorante $ varphi $ , ponendo $ varphi =0 $ nei rettangoli di $ C $ , $ varphi =max{M,0} $ nei rettangoli di $ B $ , $ varphi =M_(hk) $ nei rettangoli di di $ A $ . Allo stesso modo si definisce una funzione minorante $ psi $ ponendo $ psi =0 $ nei rettangoli di $ C $ , $ psi =min{m,0} $ nei rettangoli di $ B $ , $ psi =m_(hk) $ nei rettangoli di di $ A $ . Si ha chiaramente $ psi <=f_(varphi E)<=varphi $ e inoltre:
$ int_()^() varphi dx dy-int_()^() psi dx dy=(max{M,0}-min{m,0})*sum_(R_(hk)inB) misR_(hk)+ sum_(R_(hk)in A )(M_(hk)-m_(hk))*mis(R_(hk))<(|M|+|m|)epsi+epsisum_(R_(hk)in A ) mis(R_(hk))
È dunque verificata la condizione necessaria e sufficiente, e dunque la funzione è integrabile su $ E $."
(Ricordo che mis sta per misura). Non riesco a capire come faccia a concludere in base all'ultima disuguaglianza. Non dovrebbe essere, per definizione, la differenza tra i due integrali iniziali minore di $ epsi $? Come devo interpretare quello che c'è nella parentesi tonda alla fine? O c'è qualcos'altro che non colgo?
Grazie di cuore a chiunque vorrà aiutarmi!
"Sia $ f $ una funzione continua in un rettangolo chiuso $ R $ , e sia $ E $ un insieme misurabile contenuto in $ R $ . Allora $ f $ è integrabile in $ E $.
DIM: bisogna dimostrare che la funzione $ f_(varphiE) $ è integrabile. Per il teorema di Weierstrass, la funzione $ f $ è uniformemente continua in $ R $ : dunque $ f $ ha in $ R $ massimo $ M $ e minimo $ m $ e inoltre per ogni $ epsilon>0 $ $ EE delta >0: $ se si suddivide $ R $ in rettangoli $ R_(hk) $ di diametro minore di $ delta $ , risulta in ognuno di essi:
$ M_(hk)-m_(hk)
L'insieme $ E $ è misurabile, e dunque per ogni $ epsi>0 $ esiste una suddivisione di $ R $ in rettangoli $ R_(hk) $, che potremo supporre di diametro minore di $ delta $ , tale che la somma delle misure di quelli che hanno almeno un punto in comune con $ partial E $ sia minore di $ epsi $ . I rettangoli $ R_(hk) $ si possono ripartire in 3 categorie (qui le lettere non erano A, B, C, le ho usate io per semplificarmi un po' la vita):
-l'insieme $ A $ dei rettangoli che sono contenuti all'interno di $ E $ ;
-l'insieme $ B $ dei rettangoli che hanno almeno un punto in comune con la frontiera $ partial E $ ;
-l'insieme $ C $ dei rettangoli restanti, ovvero quelli che hanno punti in comune nè con $ E $ nè con $ partial E $ .
Per quanto detto sopra, la somma delle misure dei rettangoli dell'insieme $ B $ è minore di $ epsi $ : $ sum_(R_(hk)in B) mis(R_(hk))
Definiamo ora una funzione maggiorante $ varphi $ , ponendo $ varphi =0 $ nei rettangoli di $ C $ , $ varphi =max{M,0} $ nei rettangoli di $ B $ , $ varphi =M_(hk) $ nei rettangoli di di $ A $ . Allo stesso modo si definisce una funzione minorante $ psi $ ponendo $ psi =0 $ nei rettangoli di $ C $ , $ psi =min{m,0} $ nei rettangoli di $ B $ , $ psi =m_(hk) $ nei rettangoli di di $ A $ . Si ha chiaramente $ psi <=f_(varphi E)<=varphi $ e inoltre:
$ int_()^() varphi dx dy-int_()^() psi dx dy=(max{M,0}-min{m,0})*sum_(R_(hk)inB) misR_(hk)+ sum_(R_(hk)in A )(M_(hk)-m_(hk))*mis(R_(hk))<(|M|+|m|)epsi+epsisum_(R_(hk)in A ) mis(R_(hk))
È dunque verificata la condizione necessaria e sufficiente, e dunque la funzione è integrabile su $ E $."
(Ricordo che mis sta per misura). Non riesco a capire come faccia a concludere in base all'ultima disuguaglianza. Non dovrebbe essere, per definizione, la differenza tra i due integrali iniziali minore di $ epsi $? Come devo interpretare quello che c'è nella parentesi tonda alla fine? O c'è qualcos'altro che non colgo?
Grazie di cuore a chiunque vorrà aiutarmi!
Risposte
Tanto e' una costante, se vuoi ridefinisci $\epsilon$ come tutto quello che sta all'ultimo membro... Se ci pensi un po' mettere $2\epsilon$ o $\epsilon$ non cambia niente.
Ciao, innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Il mio dubbio è: come posso essere sicuro che la quantità $ |M|+|m|+|mis(R)| $ sia piccola?
Non importa, potrebbe anche essere grandissima, ma sta moltiplicando una quantita' arbitraria positiva, il risultato e' ancora una quantita' arbitraria positiva.
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