Integrabilità della fz. popcorn
Sto cercando di dimostrare con la definizione di R-integrabilità che la funzione di Thomae (la chiamo $Pop(x)$) è integrabile su $[0,1]$.
Evidentemente per ogni partizione $P={0=x_0
Ho indicato con $s$ la classe numerica delle somme inferiori al variare della partizione $P$.
A questo punto dovrei fare vedere che per ogni $epsilon>0$ esiste una partizione $P^o$ tale che $S(P^o,Pop)
Considero ora $P(n)_3={0,1/3-1/n,1/3+1/n,1/2-1/n,1/2+1/n,2/3-1/n,2/3+1/n,1}$ e ho che $Inf_(n) S(P(n)_3,Pop)=1/4$.
Iterando questo procedimento considerando $P(n)_k={0,1/k-1/n,1/k+1/n,...,1/2-1/n,1/2+1/n,...,(k-1)/k-1/n,(k-1)/k+1/n,1}$, forse potrei ottenere quello che voglio, ma non ne sono affatto sicuro e in ogni caso non mi piace.
Quindi mi chiedo: potrebbe essere giusto? C'è un altro modo vero?
Evidentemente per ogni partizione $P={0=x_0
Ho indicato con $s$ la classe numerica delle somme inferiori al variare della partizione $P$.
A questo punto dovrei fare vedere che per ogni $epsilon>0$ esiste una partizione $P^o$ tale che $S(P^o,Pop)
Considero ora $P(n)_3={0,1/3-1/n,1/3+1/n,1/2-1/n,1/2+1/n,2/3-1/n,2/3+1/n,1}$ e ho che $Inf_(n) S(P(n)_3,Pop)=1/4$.
Iterando questo procedimento considerando $P(n)_k={0,1/k-1/n,1/k+1/n,...,1/2-1/n,1/2+1/n,...,(k-1)/k-1/n,(k-1)/k+1/n,1}$, forse potrei ottenere quello che voglio, ma non ne sono affatto sicuro e in ogni caso non mi piace.
Quindi mi chiedo: potrebbe essere giusto? C'è un altro modo vero?
Risposte
Ma già $P(n)_2$ non è corretta.
Ad esempio, nell'intervallo $[0, 1/2-1/n]$ non è vero che $f(x)\le 0$ (cosa che mi sembra tu abbia implicitamente usato per il calcolo della somma superiore).
Ad esempio, nell'intervallo $[0, 1/2-1/n]$ non è vero che $f(x)\le 0$ (cosa che mi sembra tu abbia implicitamente usato per il calcolo della somma superiore).
No in realtà non ho mai pensato che la funzione potesse essere negativa.
Ho semplicemente detto che $S(P(n)_2,Pop)=1/3(1/2-1/n)+1/3(1/2+1/n)+1/(4n)$, e qui se mando $n$ a $+oo$ ottengo quello che ho scritto.
No?
Ho semplicemente detto che $S(P(n)_2,Pop)=1/3(1/2-1/n)+1/3(1/2+1/n)+1/(4n)$, e qui se mando $n$ a $+oo$ ottengo quello che ho scritto.
No?
Ah scusa, non avevo capito.
Ad occhio la dim. è corretta. Il discorso è che, fissato $\epsilon >0$, esiste solo un nr. finito di punti, diciamo $N = N(\epsilon)$, dove la funzione è $>\epsilon$ (che sono poi quelli identificati da te in modo esplicito); attorno a questi punti metti un intorno di ampiezza $\epsilon / N$ etc etc.
Tu hai fatto la fatica aggiuntiva di identificare in maniera esplicita questi $N$ punti, cosa che non è comunque vietata
Ad occhio la dim. è corretta. Il discorso è che, fissato $\epsilon >0$, esiste solo un nr. finito di punti, diciamo $N = N(\epsilon)$, dove la funzione è $>\epsilon$ (che sono poi quelli identificati da te in modo esplicito); attorno a questi punti metti un intorno di ampiezza $\epsilon / N$ etc etc.
Tu hai fatto la fatica aggiuntiva di identificare in maniera esplicita questi $N$ punti, cosa che non è comunque vietata
Grazie mille, ora ho capito anche il ragionamento sintetico!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo