Integrabilità a più infinito

[nicolae1]

Ciao ragazzi,
stavo rivedendo gli appunti del mio prof di analisi su un esercizio svolto in aula e non mi era chaira una cosa:
l'esercizio chiede di verificare se la funzione $int_(1)^(+oo) (logx)/(x-1)^(5/4) dx $ sia integrabile.
Per prima cosa spezza l'integrale in due parti: $int_(1)^(2) f(x)$ e $int_(2)^(+oo) f(x)$

verificato che il primo integrale è finito, passa al secondo.
Utilizza il metodo di trovare se esiste un alfa $<1$ in modo da avere l'integrale finito, ma risulta che tale alfa deve essere uguale a $5/4$, cosa impossibile perchè annullerebbe il denominatore:
$x^alpha*logx/(x-1)^(5/4)~ x^alpha*logx/(x^(5/4) $ con de l'Hopital:$ 1/(5/4-alpha)*lim_(x -> +oo) 1/(x^(5/4-alpha))$

quindi, il prof utilizza un altro metodo:

$ (logx)/x^(5/4) =(logx)/x^(10/8)=(logx)/(x^(9/8)*x^(1/8)) = (logx)/x^(1/8)*1/(x^(9/8)) < 1*1/x^(9/8) $

affermando che $(logx)/x^(1/8) rarr 0 $ se $ xrarr+oo $, quindi fefinitivamente <1, si arriva alla conclusione che anche il secondo integrale è finito, e di conseguenza lo è anche l'integrale di partenza, essendo somma di integrali finiti.
Quello che non mi è chiaro è come arriva a capire che il secondo integrale è finito.

[stormy1]

"nicolae":Quello che non mi è chiaro è come arriva a capire che il secondo integrale è finito.

ha dimostrato che il suo integrando è maggiorato dalla funzione $1/(x^(9/4))$ che è un infinitesimo di ordine maggiore di 1 e per questo motivo ha integrale convergente
quindi,anche il secondo integrale è convergente