Integrabilità

[chess71]

Sia $f=x^4arctan(x^4)/(x^alpha+1)$ una funzione definita su $[0,+infty)$, con $alpha>0$ .
Determinare il valore di $alpha$ per cui la $f$ è integrabile.

mi scuso in anticipo per eventuali sciocchezze
affinchè l'integrale converga deve essere:
$lim_(x->infty) x^4arctan(x^4)/(x^alpha+1)=0 $
ed essendo $arctan$ limitata, il limite si annulla per $(alpha-4)>1$, cioè per $alpha>5$

corretto?

[Hadronen]

Il limite si annulla anche per $alpha > 4$ ; in quel caso non e' integrabile pero'...

Corretto, dunque, per la soluzione del problema.

[Sk_Anonymous]

Aspetta, aspetta... Cos'hai fatto? Quel limite fa zero anche per \(\displaystyle \alpha>4 \). Tu stai mischiando una condizione necessaria* ma non sufficiente con un criterio d'integrabilità. Un refuso?


*Controesempio classico: \[\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \]
Si ha \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}=0 \] ma \[\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \ dx=+\infty \]
(in senso generalizzato - il mio è un abuso di notazione, ma è per intendersi).

[chess71]

si, tutto chiaro
devo usare solo il criterio di integrabilità, che in effetti era quello che avevo utilizzato per calcolare il risultato
il limite non andava menzionato