Integrabilità
ho il seguente esercizio:stabilire se la funzione
$logx-x^2/(sqrt(1-x))$ è integrabile in [0,1]
innanzitutto ho studiato il dominio e , se non erro, è tutto R\{0,1}. pertanto gli estremi dell'intervallo sono punti di discontinuità.
adesso , essendo la f generalmente continua, studio il limite dapprima per x->0:
$lim_(x->0)(|logx|)/1/x^p=lim_(x->0)x^2/(sqrt(1-x))$
e $lim_(x->1)|f(x)|/(1/(x^2/(sqrt(1-x))))=lim_(x->1)logx$
non so se è corretto il procedimento ma ancora non ho dimistichezza nella dimostrazione dell'integrabilità di funzioni. ciò che ricordo è che il limite andrebbe fatto per funzioni aventi stesso ordine di infinito o di infinitesimo e affinchè queste funzioni risultino integrabili il limite devo essere finito, quindi la funzione non deve divergere ( non so il perchè).
vi ringrazio,
alex
$logx-x^2/(sqrt(1-x))$ è integrabile in [0,1]
innanzitutto ho studiato il dominio e , se non erro, è tutto R\{0,1}. pertanto gli estremi dell'intervallo sono punti di discontinuità.
adesso , essendo la f generalmente continua, studio il limite dapprima per x->0:
$lim_(x->0)(|logx|)/1/x^p=lim_(x->0)x^2/(sqrt(1-x))$
e $lim_(x->1)|f(x)|/(1/(x^2/(sqrt(1-x))))=lim_(x->1)logx$
non so se è corretto il procedimento ma ancora non ho dimistichezza nella dimostrazione dell'integrabilità di funzioni. ciò che ricordo è che il limite andrebbe fatto per funzioni aventi stesso ordine di infinito o di infinitesimo e affinchè queste funzioni risultino integrabili il limite devo essere finito, quindi la funzione non deve divergere ( non so il perchè).
vi ringrazio,
alex
Risposte
per fare le cose in modo preciso dovresti spezzare l'integrale in due parti in (0,a] e [a,1). per quanto riguarda il primo intervallo chiaramente $x^2/sqrt(1-x)$ non ti dà problemi il limite è finito e la funzione è continua quindi sai che è sicuramente integrabile in (0,a] il problema chiaramente è il logaritmo che non è limitato in zero calcoliamo l'integrale utilizzando la definizione di integrale improprio $int_0^alogx=lim_(h->0)int_h^alogx$ la primitiva del logaritmo è nota e vale $xlogx-x$ devi quindi fare $lim_(h->0)aloga-a-hlogh+h=aloga$ quindi essendo il limite (dell'integrale) finito il logaritmo è integrabile in (0,a]
dobbiamo verificare il secondo intervallo dove il logx non dà problemi per facilitare lo studio dell'altra funzione cambio variabile y=1-x (così poi facciamo il limite per $y->0^+$) otteniamo:
$(1-y)^2/sqrt(y)=(y^2-2y+1)/sqrt(y)=y^2/sqrt(y)-2y/sqrt(y)+1/sqrt(y)$ nel limite di y a 0 l'unico termine che dà problemi è l'ultimo $1/sqrt(y)$ devo verificare quindi se $int_0^(1-a)1/sqrt(y)$ è finito di nuovo faccio un limite $lim_(h->0)int_h^(1-a)1/sqrt(y)=lim_(h->0)2sqrt(1-a)-2sqrt(h)=2sqrt(1-a)$ quindi anche questo è limitato e quindi la funzione è integrabile in (0,1). dovrebbe essere giusto, devo dirti che non ho ben capito come hai fatto i due limiti. ciao
dobbiamo verificare il secondo intervallo dove il logx non dà problemi per facilitare lo studio dell'altra funzione cambio variabile y=1-x (così poi facciamo il limite per $y->0^+$) otteniamo:
$(1-y)^2/sqrt(y)=(y^2-2y+1)/sqrt(y)=y^2/sqrt(y)-2y/sqrt(y)+1/sqrt(y)$ nel limite di y a 0 l'unico termine che dà problemi è l'ultimo $1/sqrt(y)$ devo verificare quindi se $int_0^(1-a)1/sqrt(y)$ è finito di nuovo faccio un limite $lim_(h->0)int_h^(1-a)1/sqrt(y)=lim_(h->0)2sqrt(1-a)-2sqrt(h)=2sqrt(1-a)$ quindi anche questo è limitato e quindi la funzione è integrabile in (0,1). dovrebbe essere giusto, devo dirti che non ho ben capito come hai fatto i due limiti. ciao
"rubik":
per fare le cose in modo preciso dovresti spezzare l'integrale in due parti in (0,a] e [a,1). per quanto riguarda il primo intervallo chiaramente $x^2/sqrt(1-x)$ non ti dà problemi il limite è finito e la funzione è continua quindi sai che è sicuramente integrabile in (0,a] il problema chiaramente è il logaritmo che non è limitato in zero calcoliamo l'integrale utilizzando la definizione di integrale improprio $int_0^alogx=lim_(h->0)int_h^alogx$ la primitiva del logaritmo è nota e vale $xlogx-x$ devi quindi fare $lim_(h->0)aloga-a-hlogh+h=aloga$ quindi essendo il limite (dell'integrale) finito il logaritmo è integrabile in (0,a]
dobbiamo verificare il secondo intervallo dove il logx non dà problemi per facilitare lo studio dell'altra funzione cambio variabile y=1-x (così poi facciamo il limite per $y->0^+$) otteniamo:
$(1-y)^2/sqrt(y)=(y^2-2y+1)/sqrt(y)=y^2/sqrt(y)-2y/sqrt(y)+1/sqrt(y)$ nel limite di y a 0 l'unico termine che dà problemi è l'ultimo $1/sqrt(y)$ devo verificare quindi se $int_0^(1-a)1/sqrt(y)$ è finito di nuovo faccio un limite $lim_(h->0)int_h^(1-a)1/sqrt(y)=lim_(h->0)2sqrt(1-a)-2sqrt(h)=2sqrt(1-a)$ quindi anche questo è limitato e quindi la funzione è integrabile in (0,1). dovrebbe essere giusto, devo dirti che non ho ben capito come hai fatto i due limiti. ciao
ti ringrazio. il nostro insegnante ha svolto come ho illustrato io, il procedimento è simile, non sapendo se il mio è corretto. poichè si ha
$lim (|f(x)|)/(1/x^p)$ se il limite è finito è integrabile. inoltre la funzione al numeratore e quella al denominatore devono avere lo stesso grado d'infinitesimo. gugo 82 illustrò in tale maniera in questo topic:
https://www.matematicamente.it/forum/int ... tml#220674
volevo procedere in maniera analoga ma adesso conosco un altro metodo..ti ringrazio. alex
c'è qualcosa che non va, il metodo di gugo sostanzialmente si riduce a confrontare una funzione che sai integrabile con una di cui vorresti saperlo, quindi quando fai quel limite devi specificare per quale p lo fai perchè i limiti cambiano al variare di p e non per tutti i valori possibili di p $1/x^p$ è integrabile, cosa che ti serve per concludere che logx è integrabile. quindi il tuo procedimento è corretto pur di specificare il p giusto e verificare che quel limite venga finito.
"rubik":
c'è qualcosa che non va, il metodo di gugo sostanzialmente si riduce a confrontare una funzione che sai integrabile con una di cui vorresti saperlo, quindi quando fai quel limite devi specificare per quale p lo fai perchè i limiti cambiano al variare di p e non per tutti i valori possibili di p $1/x^p$ è integrabile, cosa che ti serve per concludere che logx è integrabile. quindi il tuo procedimento è corretto pur di specificare il p giusto e verificare che quel limite venga finito.
l'unico mio problema, fondamentale tuttavia, è che non so come fare a capire quale p sia giusto...
questo non è un grosso problema, ci sono delle regole generali per farlo, vanno bene tutti gli p che rendono integrabile la funzione quindi (il problema si sposta) devi studiarti l'integrale indefinito
$int_0^1 1/x^p$ si può fare utilizzando il metodo con il limite di prima
supponiamo p>0 altrimenti la funzione è chiaramente integrabile. (supponiamo anche che sia $p!=1$)
$lim_(h->0)int_h^1 1/x^p=lim_(h->0)[x^(1-p)/(1-p)]_h^1=lim_(h->0)1/(1-p)-h^(1-p)/(1-p)$ questo limite è finito se e solo se 1-p>0 quindi p<1
ora quindi quale p prendere? va bene un qualunque p<1 che renda finito il limite $f(x)/(1/x^p)$. all'infinito le cose vanno diversamente infatti il p nel caso in cui ti ha aiutato gugo era 5. Queste cose comunque le puoi trovare su un qualunque libro di analisi 1
editato: scusa non mi ero accorto
$int_0^1 1/x^p$ si può fare utilizzando il metodo con il limite di prima
supponiamo p>0 altrimenti la funzione è chiaramente integrabile. (supponiamo anche che sia $p!=1$)
$lim_(h->0)int_h^1 1/x^p=lim_(h->0)[x^(1-p)/(1-p)]_h^1=lim_(h->0)1/(1-p)-h^(1-p)/(1-p)$ questo limite è finito se e solo se 1-p>0 quindi p<1
ora quindi quale p prendere? va bene un qualunque p<1 che renda finito il limite $f(x)/(1/x^p)$. all'infinito le cose vanno diversamente infatti il p nel caso in cui ti ha aiutato gugo era 5. Queste cose comunque le puoi trovare su un qualunque libro di analisi 1
editato: scusa non mi ero accorto
in un qualunque non saprei ti ringrazio rubik. è molto più facile il tuo procedimento...avendo dimistichezza con gli integrali anche se oggi non sembra proprio...alex
ti ringrazio rubik. è molto più facile il tuo procedimento...avendo dimistichezza con gli integrali anche se oggi non sembra proprio...alex
editato
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