Integrabilità
Scusate se ritorno con i miei esercizi irrisolti ma sono alla ricerca di qualcuno che mi spieghi come procedere con questo esercizio:
trovare tutti quei valori di p in ]0,+oo[ per i quali la funzione:
$(1+log^(p^2)x)/(xsqrt(log^(5p)x+4))$ è integrabile in [e,+oo[
stavolta mi occorre una spiegazione puntuale. non l'esercizietto svolto quanto una cosa che mi chiarisca il concetto di integrabilità perchè non so proprio procedere e i miei libri danno poche dimostrazioni sul caso. se doveste avere qualche testo che ne spieghi il procedimento, ben venga il suggerimento.
sono disperato....a comprensione zero:(
vi ringrazio,
alex
p.s. gugo82 abbi pietà di me
trovare tutti quei valori di p in ]0,+oo[ per i quali la funzione:
$(1+log^(p^2)x)/(xsqrt(log^(5p)x+4))$ è integrabile in [e,+oo[
stavolta mi occorre una spiegazione puntuale. non l'esercizietto svolto quanto una cosa che mi chiarisca il concetto di integrabilità perchè non so proprio procedere e i miei libri danno poche dimostrazioni sul caso. se doveste avere qualche testo che ne spieghi il procedimento, ben venga il suggerimento.
sono disperato....a comprensione zero:(
vi ringrazio,
alex
p.s. gugo82 abbi pietà di me

Risposte
Mi hai chiamato? 
Nota che la tua $f$ è continua in $[e,+oo[$ (poiché il denominatore non si annulla mai), quindi la $f$ è integrabile per ogni $p>0$ in ogni intervallo limitato $[a,b] subset [e,+oo[$: ciò è importante, ma non risponde al tuo quesito perchè ti si chiede di determinare per quali $p$ la $f$ è integrabile su tutto $[e,+oo[$.
Visto che la funzione integranda è positiva in $[e,+oo[$ dire "integrabile" o dire "sommabile" è la medesima cosa: pertanto sei autorizzato a procedere con un'analisi dell'ordine di infinitesimo in $+oo$.
Per l'ordine d'infinitesimo ti consiglio di tenere presente che basta stabilire come si comporta la funzione $g(x)=(1+log^(p^2)x)/sqrt(4+log^(5p)x)$ e poi ricordare che la tua $f$ è prodotto di detta funzione e dell'infinitesimo $1/x$ (d'ordine $1$).
Per l'ordine di infinitesimo di $g$ ti suggerisco di mettere in evidenza a numeratore e denominatore i due logaritmi: in tal modo potrai notare che il comportamento di $g$ in $+oo$ dipende dal rapporto $(log^(p^2)x)/(log^(5/2p)x)=log^(p^2-5/2p)x$.

Nota che la tua $f$ è continua in $[e,+oo[$ (poiché il denominatore non si annulla mai), quindi la $f$ è integrabile per ogni $p>0$ in ogni intervallo limitato $[a,b] subset [e,+oo[$: ciò è importante, ma non risponde al tuo quesito perchè ti si chiede di determinare per quali $p$ la $f$ è integrabile su tutto $[e,+oo[$.
Visto che la funzione integranda è positiva in $[e,+oo[$ dire "integrabile" o dire "sommabile" è la medesima cosa: pertanto sei autorizzato a procedere con un'analisi dell'ordine di infinitesimo in $+oo$.
Per l'ordine d'infinitesimo ti consiglio di tenere presente che basta stabilire come si comporta la funzione $g(x)=(1+log^(p^2)x)/sqrt(4+log^(5p)x)$ e poi ricordare che la tua $f$ è prodotto di detta funzione e dell'infinitesimo $1/x$ (d'ordine $1$).
Per l'ordine di infinitesimo di $g$ ti suggerisco di mettere in evidenza a numeratore e denominatore i due logaritmi: in tal modo potrai notare che il comportamento di $g$ in $+oo$ dipende dal rapporto $(log^(p^2)x)/(log^(5/2p)x)=log^(p^2-5/2p)x$.
ti ringrazio gugo. spero di poterne risolvere altri, magari senza invocare il tuo aiuto anche se la vedo un pò difficile 
alex

alex
"Gugo82":
Visto che la funzione integranda è positiva in $[e,+oo[$ dire "integrabile" o dire "sommabile" è la medesima cosa
beh...se intendi dire di che puoi sostituire l'integrale con la sommatoria di $g(n)/n$ bisognerebbe verificare che è decrescente, il che mi sembra poi molto probabile (almeno da un certo punto in poi) però forse non è facile da dimostrare.
"Gugo82":
Per l'ordine d'infinitesimo ti consiglio di tenere presente che basta stabilire come si comporta la funzione $g(x)=(1+log^(p^2)x)/sqrt(4+log^(5p)x)$ e poi ricordare che la tua $f$ è prodotto di detta funzione e dell'infinitesimo $1/x$ (d'ordine $1$).
Per l'ordine di infinitesimo di $g$ ti suggerisco di mettere in evidenza a numeratore e denominatore i due logaritmi: in tal modo potrai notare che il comportamento di $g$ in $+oo$ dipende dal rapporto $(log^(p^2)x)/(log^(5/2p)x)=log^(p^2-5/2p)x$.
se ho capito bene cosa intendi, non so fino a che punto questo può essere utile. Se vuoi dire che per $p<5/2$ $g(x)>x^(-a)$ con $a>0$ da un certo punto in poi allora dimostri che $f(x)>x^(-(1+a))$ il cui integrale o la cui sommatoria convergono. Se vuoi dire poi che per $p>5/2$ $g(x)
"fransis2":
[quote="Gugo82"]Visto che la funzione integranda è positiva in $[e,+oo[$ dire "integrabile" o dire "sommabile" è la medesima cosa
beh...se intendi dire di che puoi sostituire l'integrale con la sommatoria di $g(n)/n$ bisognerebbe verificare che è decrescente, il che mi sembra poi molto probabile (almeno da un certo punto in poi) però forse non è facile da dimostrare.
"Gugo82":
Per l'ordine d'infinitesimo ti consiglio di tenere presente che basta stabilire come si comporta la funzione $g(x)=(1+log^(p^2)x)/sqrt(4+log^(5p)x)$ e poi ricordare che la tua $f$ è prodotto di detta funzione e dell'infinitesimo $1/x$ (d'ordine $1$).
Per l'ordine di infinitesimo di $g$ ti suggerisco di mettere in evidenza a numeratore e denominatore i due logaritmi: in tal modo potrai notare che il comportamento di $g$ in $+oo$ dipende dal rapporto $(log^(p^2)x)/(log^(5/2p)x)=log^(p^2-5/2p)x$.
se ho capito bene cosa intendi, non so fino a che punto questo può essere utile. Se vuoi dire che per $p<5/2$ $g(x)>x^(-a)$ con $a>0$ da un certo punto in poi allora dimostri che $f(x)>x^(-(1+a))$ il cui integrale o la cui sommatoria convergono. Se vuoi dire poi che per $p>5/2$ $g(x)
mmm...fransis ti ringrazio per l'intervento però ho capito ben poco
