Integrabile secondo Riemann

[angelox9]

Ciao a tutti, come si vede praticamente se una funzione è integrabile secondo Riemann?

Teorema:
Sia f:[a,b]->R, limitata.
Allora se f soddisfa almeno una delle seguenti proprietà, è integrabile in [a,b].
1)f ha un numero finito di punti di discontinuità.
2)f monotona in [a,b].

Giusto?

[seb1]

Eccoci, bene! Anche se, per onestà, tanto bene non va, perché domandi come verificare praticamente se una funzione è integrabile secondo Riemann e, di seguito, riporti il teorema che può essere proprio una maniera pratica di verificarlo. Non capisco la difficoltà, insomma. Ad esempio, in

"angelok90":\begin{equation*}f(x)=\begin{cases}x\arctan(\frac{1}{x-1}),\;\;x\in]1,2]\\\ln{x},\;\;x\in\left[\frac{1}{2},1\right]\end{cases}\end{equation*}

dove sta il problema?

[angelox9]

Se non ti chiedo troppo, potresti spiegarmi come dimostrarlo.
Tu come lo dimostreresti?

[seb1]

Forse quello che ti manca è - non che ti sia utile nella pratica (hai già tutte le basi per poter rispondere), ma nella chiarezza concettuale - un secondo teorema (che logicamente starebbe per primo) per cui una funzione definita su un compatto è integrabile secondo Riemann se è continua. Dal momento che il dominio della funzione \(f\) è \(\left[\frac{1}{2},2\right]\), la prima domanda che ti poni è: \(f\) è continua? Lo fosse, sarebbe integrabile ed è concluso. Tuttavia è immediato verificare che in \(1\) v'è una discontinuità e che è l'unica. Allora facciamo intervenire il teorema che hai riportato tu, perché sappiamo che \(f\) è definita su di un insieme chiuso e limitato e presenta un numero finito di punti di discontinuità. Dunque \(f\) è integrabile secondo Riemann se è limitata in \(\left[\frac{1}{2},2\right]\) e questo lascio dimostrarlo a te.
Spero sia più chiaro

[angelox9]

Supponiamo che sia f : [a, b] → R. Se vale una delle condizioni seguenti:
(i) f è continua in [a, b];
(ii) f è monotona in [a, b];
(iii) f è limitata e ha un numero finito di punti di discontinuita in [a, b],
allora f è integrabile secondo Riemann.

Osservazione Ribadisco che queste condizioni sono singolarmente sufficienti per integrabilità. Ciascuna quindi,
indipendentemente dalle altre, garantisce integrabilità secondo Riemann della funzione.

Per la (iii) allora posso dire che è integrabile?

[seb1]

"angelok90":Osservazione Ribadisco che queste condizioni sono singolarmente sufficienti per integrabilità. Ciascuna quindi, indipendentemente dalle altre, garantisce integrabilità secondo Riemann della funzione.

Certo, non ho mai detto il contrario, anzi..(rileggi meglio)

"angelok90":Per la (iii) allora posso dire che è integrabile?

Sì, puoi dire che è integrabile se una delle tre condizioni è verificata, in particolare la terza. Ciò significa che è integrabile solo se (verificate le ulteriori ipotesi) riesci a dimostrare la limitatezza di \(f\), che è pari pari quello che ho scritto prima.