Integrabile e semi-integrabile (rispetto a una misura)
Sto guardando la definizione di funzione misurabile semi-integrabile inferiormente rispetto a una misura ($\sigma$-finita) $\mu$ e c'è una osservazione che non mi torna:
date due funzioni misurabili $f$ e $g$, allora risulta $f\geq g$ con $g$ integrabile se e solo se $\int f^-\ d\mu <+\infty$.
E' vero? E se è vero, come si dimostra?
Io ho provato a scrivere $f$ e $g$ come differenza di parte positiva e parte negativa, ma non ci ho cavato niente
date due funzioni misurabili $f$ e $g$, allora risulta $f\geq g$ con $g$ integrabile se e solo se $\int f^-\ d\mu <+\infty$.
E' vero? E se è vero, come si dimostra?
Io ho provato a scrivere $f$ e $g$ come differenza di parte positiva e parte negativa, ma non ci ho cavato niente
Risposte
Per quanto riguarda l'implicazione $\Rightarrow$, ho spezzato $f=f^+ -f^-$ e $g=g^+ -g^-$ e mi sono trovato la disuguaglianza $f^+ -f^-$ $\geq g^+ -g^-$. Da qui mi piacerebbe arrivare a provare che $f^-$ $\leq g^-$, ma non saprei come fare, mentre disegnando $f^-$ e $g^-$, si vede bene la disuguaglianza. Mi accontento. In pratica basta considerare i vari casi dove $f$ e $g$ sono positive o negative.
E per l'implicazione inversa? In realtà la proposizione andrebbe magari scritta così:
Data la funzione misurabile $f$, allora:
$\exists$ $g$ integrabile tale che $f\geq g$ $\Leftrightarrow$ $\int f^-\ d\mu <+\infty$.
La freccia $\Leftarrow$ la proverei in questo modo:
$f=f^+ -f^-$ $\geq -f^-$ e quindi basta prendere $g=-f^-$.
Può andare?
Queste sono quindi due definizioni equivalenti di funzione semi-integrabile (o quasi-integrabile) inferiormente.
E per l'implicazione inversa? In realtà la proposizione andrebbe magari scritta così:
Data la funzione misurabile $f$, allora:
$\exists$ $g$ integrabile tale che $f\geq g$ $\Leftrightarrow$ $\int f^-\ d\mu <+\infty$.
La freccia $\Leftarrow$ la proverei in questo modo:
$f=f^+ -f^-$ $\geq -f^-$ e quindi basta prendere $g=-f^-$.
Può andare?
Queste sono quindi due definizioni equivalenti di funzione semi-integrabile (o quasi-integrabile) inferiormente.
Dire che \(g\) è integrabile significa dire che \(g\in L^1\); ma ciò implica che \(g^+,g^- \in L^1\), quindi da \(f^-\leq g^-\) segue subito \(\int f^- \leq \int g^-<+\infty\).
Sì, quella è la conclusione della prima dimostrazione (la freccia $\Rightarrow$), grazie per averla riportata.
Il mio stupido problema era prima: dimostrare che $f^-$ $\leq g^-$, perché mi ero fissato su una via (algebrica) quando invece basta veramente guardare la figura di due parti negative a confronto per convincersene.
E già che ci sono, ho faticato a trovare materiale in rete sulla semi-integrabilità e ho visto che si chiama anche quasi-integrabilità: qual è il termine più usato?
E in inglese come viene chiamata?
Il mio stupido problema era prima: dimostrare che $f^-$ $\leq g^-$, perché mi ero fissato su una via (algebrica) quando invece basta veramente guardare la figura di due parti negative a confronto per convincersene.
E già che ci sono, ho faticato a trovare materiale in rete sulla semi-integrabilità e ho visto che si chiama anche quasi-integrabilità: qual è il termine più usato?
E in inglese come viene chiamata?
Sinceramente, è la prima volta che mi capita di leggere i termini "semiintegrabile" e "quasiintegrabile" (e dire che qualche corso di TdM l'ho seguito).
Quindi non so come aiutarti.
Quindi non so come aiutarti.
Io li avevo giusto sentiti nominare, mi pare in qualche corso di analisi, ma non mi erano mai serviti... Il testo migliore che ho trovato sul tema è qui.
In particolare, la definizione è nel capitolo 13 a pagina 31. Nel capitolo 16 ci sono le applicazioni che mi interessano, cioè delle generalizzazioni del lemma di Fatou e del teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata.
In particolare, la definizione è nel capitolo 13 a pagina 31. Nel capitolo 16 ci sono le applicazioni che mi interessano, cioè delle generalizzazioni del lemma di Fatou e del teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata.
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