$int1/((1-x^2)^2)$ senza metodo di Hermitte

[Flamber]

$int1/((1-x^2)^2)$

il libro mi cinsiglia di calcolare questo integrale con il metodo di Hermitte. Se é strettamente necessario vedró di impararlo, ma vorrei evitare di aggiungere alla lista anche questo metodo, posso riuscire a calcolarlo in qualche altra maniera?

[lordb]

Ciao la formula di Hermite non è strettamente necessaria, utilizza la scomposizione in fratti semplici (quella invece la devi sapere):

$1/(1-x^2)^2=1/((1+x)*(1-x))^2=1/((1+x)^2*(1-x)^2)=A/(1+x)+B/(1+x)^2+C/(1-x)+D/(1-x)^2$

[Sk_Anonymous]

Se proprio ci tieni a farlo senza Hermite ( ma è una cosa lunga...) puoi porre \(\displaystyle x=sint,dx=cost\cdot dt \) e l'ntegrale L ti diventa così:
\(\displaystyle L=\int\frac{1}{cos^3t} dt=\int\frac{sin^2t+cos^2t}{cos^3t}dt=\int sint\cdot \frac{sint}{cos^3t}dt+\int\frac{1}{cost}dt\)
Ovvero :
\(\displaystyle L=\int sint\cdot d(\frac{cos^{-2}t}{2})+\int\frac{1}{cost}dt \)
Da qui :
\(\displaystyle L=\frac{sint}{2cos^2t}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{cost}dt \)
Sapendo che : \(\displaystyle \int\frac{1}{cost}dt=\ln\left(\frac{1+sint}{cost}\right) \) [provalo tu...], hai:
\(\displaystyle L=\frac{sint}{2cos^2t}+\frac{1}{2}\cdot \ln\left(\frac{1+sint}{cost}\right)+C\)
Esprimendo il tutto in funzione di x, hai alla fine questa cosa leggermente...mostruosa ( ):
\(\displaystyle L=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1-x^2}+\frac{1}{2}\cdot ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)+C \)

[j18eos]

@lordb Attenzione: \[\frac{1}{(1-x^2)^2}=\frac{A}{1+x}+\frac{B_0+B_1x}{(1+x)^2}+\frac{C}{1-x}+\frac{D_0+D_1x}{(1-x)^2}\] almeno che tu non voglia ripetere due volte la scomposizione in fratti semplici.

@Flamber Sulla falsariga della sostituzione di ciromario, puoi utilizzare le funzioni iperboliche; in genere i calcoli sono più brevi.

[Rigel1]

"j18eos":@lordb Attenzione: \[\frac{1}{(1-x^2)^2}=\frac{A}{1+x}+\frac{B_0+B_1x}{(1+x)^2}+\frac{C}{1-x}+\frac{D_0+D_1x}{(1-x)^2}\] almeno che tu non voglia ripetere due volte la scomposizione in fratti semplici.

mmm, sicuro?

[lordb]

"j18eos":@lordb Attenzione: \[\frac{1}{(1-x^2)^2}=\frac{A}{1+x}+\frac{B_0+B_1x}{(1+x)^2}+\frac{C}{1-x}+\frac{D_0+D_1x}{(1-x)^2}\] almeno che tu non voglia ripetere due volte la scomposizione in fratti semplici.

Ciao j18eos non capisco bene il motivo,infatti i polinomio al denominatore non ha radici complesse:

$1/(1-x^2)^2=A/(1+x)+B/(1+x)^2+C/(1-x)+D/(1-x)^2$

$1/(1-x^2)^2=(A*[(1+x)*(1-x)^2]+B*[(1-x)^2]+C*[(1-x)*(1+x)^2]+D*[(1+x)^2])/(1-x^2)^2$

$1=A*[(1+x)*(1-x)^2]+B*[(1-x)^2]+C*[(1-x)*(1+x)^2]+D*[(1+x)^2]$

$1=A+B+C+D-A*x-2B*x+C*x+2 D*x-A*x^2+B*x^2-C*x^2+D*x^2+A*x^3-Cx^3$

$1=x^3*[A-C]+x^2*[-A+B-C+D]+x*[-A-2B+C+2D]+A+B+C+D$

Ottengo il sistema:

${(A-C=0),(-A+B-C+D=0),(-A-2B+C+2D=0),(A+B+C+D=1):} => {(A=C),(-2A+B+D=0),(D-B=0),(2A+B+D=1):}=>{(A=C),(A=B),(B=D),(A=1/4):}=>A=B=C=D=1/4$

E ottengo:

$1/(1-x^2)^2=1/4*[1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1-x)+1/(1-x)^2]$


edit: mentre scrivevo tutta la pappardella Rigel mi ha preceduto