$ \int \sqrt \frac{1}{sinxcos^nx}dx$
Visto l'interesse che mi è sorto per il caso [tex]n=2[/tex], vorrei sapere se c'è già in giro qualche soluzione al problema generale. L'integrale, come da oggetto è:
[tex]\displaystyle \int \sqrt \frac{1}{\sin x\cos^n x}dx[/tex]
[tex]\displaystyle \int \sqrt \frac{1}{\sin x\cos^n x}dx[/tex]
Risposte
Se [tex]$n$[/tex] è dispari, la sostituzione [tex]$t=\tan x$[/tex] trasforma l'integrale trigonometrico in [tex]$x$[/tex] in integrale irrazionale in [tex]$t$[/tex]; infatti se [tex]$n=2m+1$[/tex] si ha:
[tex]$\int \sqrt{\frac{1}{\sin x \cos^{2m+1} x}}\ \text{d} x =\int \frac{1}{\sqrt{(\sin x \cos x)\ (\cos^2 x)^m}}\ \text{d} x=\int \frac{(1+t^2)^{\frac{m+1}{2}-1}}{\sqrt{t}}\ \text{d} t =\int (1+t^2)^{\frac{m-1}{2}} t^{-\frac{1}{2}}\ \text{d} t$[/tex]
Tuttavia bisogna controllare se l'integrale irrazionale è elementarmente calcolabile (in generale penso di no)*.
Per [tex]$n$[/tex] pari la sostituzione di prima non funziona; bisogna giocoforza ricorrere alla sostituzione classica [tex]$t=\tan \frac{x}{2}$[/tex] e poi vedere che viene fuori.
__________
* Mi sembra che ci sia un criterio (dovuto a qualche matematico russo) per stabilire se un integrale del genere è elementare o no... Se non ricordo male e se stasera lo trovo, lo posto.
*** EDIT: corretti un paio di esponenti.
[tex]$\int \sqrt{\frac{1}{\sin x \cos^{2m+1} x}}\ \text{d} x =\int \frac{1}{\sqrt{(\sin x \cos x)\ (\cos^2 x)^m}}\ \text{d} x=\int \frac{(1+t^2)^{\frac{m+1}{2}-1}}{\sqrt{t}}\ \text{d} t =\int (1+t^2)^{\frac{m-1}{2}} t^{-\frac{1}{2}}\ \text{d} t$[/tex]
Tuttavia bisogna controllare se l'integrale irrazionale è elementarmente calcolabile (in generale penso di no)*.
Per [tex]$n$[/tex] pari la sostituzione di prima non funziona; bisogna giocoforza ricorrere alla sostituzione classica [tex]$t=\tan \frac{x}{2}$[/tex] e poi vedere che viene fuori.
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* Mi sembra che ci sia un criterio (dovuto a qualche matematico russo) per stabilire se un integrale del genere è elementare o no... Se non ricordo male e se stasera lo trovo, lo posto.
*** EDIT: corretti un paio di esponenti.
Pareva anche a me di averlo letto su un libro di analisi tempo fa, direi il Kolmogorov... ma è passato molto tempo e dovrei rivederlo!
Come promesso ritorno sulla questione.
Ricordavo bene: infatti sussiste il seguente:
Nel caso in esame abbiamo:
[tex]$p=-\frac{1}{2} ,\ q=2,\ r=\frac{m-1}{2}$[/tex]
e perciò [tex]$\tfrac{p+1}{q} =\tfrac{1}{4} , r+\tfrac{p+1}{q} =\tfrac{2m-1}{4}$[/tex]; dal teorema segue immediatamente che l'integrale è razionalizzabile se [tex]$r=\tfrac{m-1}{2}$[/tex] è intero, ossia se [tex]$m$[/tex] è dispari.
D'altra parte, se [tex]$m$[/tex] è pari, nessuno dei tre numeri [tex]$r,\ \tfrac{p+1}{q} ,\ r+\tfrac{p+1}{q}$[/tex] è intero e perciò l'integrale non è razionalizzabile.
Un po' più in generale, la sostituzione funziona per gli integrali del tipo:
[tex]$\int \sqrt{\frac{1}{\sin^{2n+1} x\ \cos^{2m+1} x}} \ \text{d} x$[/tex]
solo se [tex]$n$[/tex] ed [tex]$m$[/tex] hanno parità diverse (cioè [tex]$n$[/tex] pari ed [tex]$m$[/tex] dispari o viceversa): ad esempio:
[tex]$\int \sqrt{\frac{1}{\sin^{37} x\ \cos^7 x}} \ \text{d} x$[/tex] è razionalizzabile
[tex]$\int \sqrt{\frac{1}{\sin^3 x\ \cos^{27} x}} \ \text{d} x$[/tex] non è razionalizzabile.
Lascio a chi abbia voglia di fare i conti vedere cosa succede per esponenti pari nei radicandi.
__________
* Ho usato la traslitterazione inglese; in originale è Чебышёв.
L'enunciato del teorema è preso da Fiorenza-Greco, Lezioni di Analisi Matematica - volume primo (seconda edizione, 1985).
Ricordavo bene: infatti sussiste il seguente:
Teorema di Chebychev*
L'integrale binomio:
[tex]$\int x^p (ax^q+b)^r \text{d} x$[/tex]
è razionalizzabile (ossia riconducibile ad un integrale di una funzione razionale) se e solo se almeno uno dei tre numeri [tex]$r,\ \tfrac{p+1}{q} ,\ r+\tfrac{p+1}{q}$[/tex] è intero.
Nel caso in esame abbiamo:
[tex]$p=-\frac{1}{2} ,\ q=2,\ r=\frac{m-1}{2}$[/tex]
e perciò [tex]$\tfrac{p+1}{q} =\tfrac{1}{4} , r+\tfrac{p+1}{q} =\tfrac{2m-1}{4}$[/tex]; dal teorema segue immediatamente che l'integrale è razionalizzabile se [tex]$r=\tfrac{m-1}{2}$[/tex] è intero, ossia se [tex]$m$[/tex] è dispari.
D'altra parte, se [tex]$m$[/tex] è pari, nessuno dei tre numeri [tex]$r,\ \tfrac{p+1}{q} ,\ r+\tfrac{p+1}{q}$[/tex] è intero e perciò l'integrale non è razionalizzabile.
Un po' più in generale, la sostituzione funziona per gli integrali del tipo:
[tex]$\int \sqrt{\frac{1}{\sin^{2n+1} x\ \cos^{2m+1} x}} \ \text{d} x$[/tex]
solo se [tex]$n$[/tex] ed [tex]$m$[/tex] hanno parità diverse (cioè [tex]$n$[/tex] pari ed [tex]$m$[/tex] dispari o viceversa): ad esempio:
[tex]$\int \sqrt{\frac{1}{\sin^{37} x\ \cos^7 x}} \ \text{d} x$[/tex] è razionalizzabile
[tex]$\int \sqrt{\frac{1}{\sin^3 x\ \cos^{27} x}} \ \text{d} x$[/tex] non è razionalizzabile.
Lascio a chi abbia voglia di fare i conti vedere cosa succede per esponenti pari nei radicandi.
__________
* Ho usato la traslitterazione inglese; in originale è Чебышёв.
L'enunciato del teorema è preso da Fiorenza-Greco, Lezioni di Analisi Matematica - volume primo (seconda edizione, 1985).
"gugo82":
* Ho usato la traslitterazione inglese; in originale è Чебышёв.
Gugo, sei il solito esagerato!
"dissonance":
[quote="gugo82"]* Ho usato la traslitterazione inglese; in originale è Чебышёв.
Gugo, sei il solito esagerato!
[/quote][size=59]Ho copiato da WIKIpedia... Shhhhh!!![/size]
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