$int sin^2(x) dx$ e $int cos^2(x) dx$ come si fanno?

[zannas]

forse è una domanda stupida, ma... $int sin^2(x) dx$ e $int cos^2(x) dx$ come si fanno?

[ELWOOD1]

una strada è quella di considerarlo a fare per parti.....l'altra è attraverso dei trucchi trigonometrici...ad esempio considerando che $\sin^x=\frac{1-cos(2x)}{2}$ e $\cos^2x=\frac{1+cos(2x)}{2}$

[zannas]

mmm...meglio per parti..

[ELWOOD1]

mah...io non direi....

guarda il coseno ad esempio:

$\int\cos^2x dx =\int\frac{1+\cos(2x)}{2}dx$

puoi già raccogliere 1/2 a fattor comune

$1/2[ \int 1+\cos(2x) dx]$

l'integrale di uno è elementare...e forse pure quello di $cos(2x)$ qual è la funzione che derivata mi da $\cos(2x)$?è facile da trovare: $1/2\sin(2x)$
quindi il risultato è immediato:

$1/2[x+1/2\sin(2x)+C]=x/2+\frac{\sin(2x)}{4}+C$

[Domè891]

andando per parti invece, $int sin^2(x)dx=1/2(x-sin(x)cos(x))+c$ e $int cos^2(x)=1/2(x+sin(x)cos(x))+c$


ciao

[franced]

In ogni caso è bene tenere presente l'identità fondamentale

$sin^2 x + cos^2 x = 1$

se uno calcola $\int sin^2 x$ $dx$ trova subito l'integrale di $\int cos^2 x$ $dx$

[zannas]

"Domè89":andando per parti invece, $int sin^2(x)dx=1/2(x-sin(x)cos(x))+c$ e $int cos^2(x)=1/2(x+sin(x)cos(x))+c$
ciao

scusa, mi faresti il primo passaggio? perchè, (sarà che è da tempo che non ne faccio, sarà che son tordo) ma non mi vengono proprio..
cioè, procedendo per parti:
$int cos^2(x) dx = int cos(x)*cos(x) dx = sin(x)*cos(x) - int sin^2(x) dx$
oppure
$int cos^2(x) dx = int 1 cos^2(x) dx = x * cos^2(x) - (int -2 cos(x) sin(x) x dx)$

[palla1979]

procedi così:
$intcos^2xdx=intcosxcosxdx=cosxsenx+intsenxsenxdx$
ma ricordiamoci che il primo membro $intcos^2xdx$ è $=int1-sen^2xdx$

[palla1979]

uguagliando i due membri e trattando l'integrale come un'equazione dovresti giungere alla conclusione di domè89.
$int(1-sen^2x)dx=cosxsenx+intsen^2xdx$
$int1dx-intsen^2xdx=cosxsenx+intsen^2x$
$x-2intsen^2x=cosxsenx$ da cui $intsen^2x=1/2(x-cosxsenx)$

[zannas]

grazie 1000

[Gummitch1]

Con una curiosa coincidenza ho sentito la stessa cosa in una conferenza di Laforgia mercoledi scorso.

Essendo $sin^2 x + cos^2 x = 1$

potremmo chiamare $I_1=\int cos^2 x$ $dx$ e $I_2=\int sen^2 x$ $dx$
e poi possiamo fare $I_1+I_2=\int 1$ $dx$ e $I_1-I_2=\int (1-sen^2 x)$ $dx$ ossia $\int 1/2 sen(2x)$ $dx$ da cui si ricava $2I_1$ ecc...

Perché meglio per parti? Ok, è vero che è questione di gusti ma a me sembra migliore l'usare alcune proprietà fondamentali. Si impara a giocare con queste cose. Almeno credo.

[palla1979]

sono d'accordo!