$\int \int f(x,y)dxdy$ dubbio impostazione

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi è capitato tra le mani questo integrale doppio, ma ho dubbi, la soluzione non mi convince. Ed ho dubbi. Aiutatemi per favore..

Mi basta solamente capire, come impostare meglio il dominio, poi il calcolo dell'integrale, sono solo conti..

Calcolare $ \int_A (y^2-x^2)^2e^((x+y)^3)dxdy $

ove $ A=\{(x,y)^T\in RR^2: |y|\leq 1-|x|\} $

Come ho provato ad impostare meglio il dominio

$ |y|\leq 1-|x|\to |x|-1\leq y \leq1-|x| $

quindi si ha $ { ( x>0 ),( x-1\leq y\leq 1-x ):} \vee { ( x<0 ),( -x-1\leq y \leq x+1 ):} $

quindi le 2 equazioni sarebbero $ { ( x-1\leq y \leq 1-x ),( -x-1\leq y \leq x+1 ):} $

non sapendo più come muovermi.. vado a vedere la soluzione e dice

La soluzione scritta sul testo è

si ha $ { ( -x-1\leq y \leq -x+1 ),( x-1 \leq y \leq x+1):} $

ED ORA MI CHIEDO.. Cosa ha fatto?

[Light_1]

Scriviti questa disequazione

$ |y|<=1-|x| $ in ognuno dei 4 quadranti ,

poi inverti i segni in quei due in cui la $y$ è negativa , basta fare attenzione con i segni.

[Camillo]

Sia $x $ , che $y $ hanno il modulo, quindi
se $x>0, y>0 rarr y<= 1-x$
se $x<0, y>0 rarr y<= 1+x $
se $ y<0,x>0 rarr -y<= 1-x rarr y>= x-1 $
se $ y<0, x<0 rarr -y <= 1+x rarr y>= -x-1 $.

Il dominio è un quadrato "storto" di vertici $(1,0);(0,1);(-1,0);(0,-1)$

[Lo_zio_Tom]

"21zuclo":
ED ORA MI CHIEDO.. Cosa ha fatto?

ma sì dai....è un quadrato di lato $sqrt(2)$ con intersezione delle diagonali in (0;0) e vertici che si intersecano con gli assi

I Quadrante; $y<1-x$
II Quadrante: $y III Quadrante: $y> -x-1$
IV Quadrante: $y>x-1$

poi integri partizionando il dominio in due [-1

Cita

Segnala

[21zuclo]

intanto grazie per le risposte!

allora capito il metodo utilizzato da Camillo

solo che una volta fatto la suddivisione dei 4 quadranti..

per far venir fuori la disequazione come dice la soluzione cioè $ -x-1\leq y \leq -x+1 $

unisco il primo quadrante con il terzo quadrante?..