$int_(-infty)^(+infty) dx/(x^8+1)$

[emaz92]

Vi propongo il mio tentativo di risoluzione per il seguente integrale col metodo dei residui, vorrei sapere se e dove sbaglio:
$int_(-infty)^(+infty) dx/(x^8+1)$

Allora, il risultato sarà: $2ipi(Res(f,w0)+Res(f,w1)+Res(f,w2)+Res(f,w4)$ dove $w1,w2,w3,w4$ sono i punti trovati calcolando la radice ennesima. Sono 4 inoltre poichè sono quelli che stanno nel semipiano positivo, sul quale considero la semicirconferenza di raggio $R$ che poi faccio tendere all' infinito.
Ecco, poi ho calcolato le radici, che mi vengono $wk=e^[(ipi+2kpi)/8]$
Quindi le radici che mi servono sono: $w0=e^[ipi/8],w1=e^[i3pi/8],w2=e^[i5pi/8],w0=e^[i7pi/8]$
Calcolo poi i residui: $Res(f,w0)=1/(8(wo)^7)= 1/(8e^[(i7pi)/8])$,$Res(f,w1)=1/(8(w1)^7)= 1/(8e^[(i21pi)/8])$,$Res(f,w2)=1/(8(w2)^7)= 1/(8e^[(i35pi)/8])$,$Res(f,w3)=1/(8(w3)^7)= 1/(8e^[(i49pi)/8])$.
Quindi posso concludere che: $ipi/[4(e^[ipi/8]+e^[i3pi/8]+e^[i5pi/8]+e^[i7pi/8])]$

Adesso il problema è, ammesso che i calcoli siano giusti e il procedimento sia corretto, come elimino l' unità immaginaria?

[emaz92]

risolto!