Int gen

[Simaker]

ciao ragazzi mi serve un aiuto per favore:
discutere la convergenza o meno dell'integrale generalizzato

$int_-1^1dx/(x+e^x)$

grazie, a buon rendere

[gugo82]

Come esercizio è del tutto standard.
Idee tue?

[Simaker]

Lo so che è standard però mi serve una mano perchè mi sono perso la spiegazione... grazie

[gugo82]

Sì, vabbé... Ma non sai nemmeno da dove iniziare?
Il libro che dice?

[Simaker]

dunque il libro spiega l'integrazione di funzioni non limitate con la formula:

$int_a^bf(x)dx = lim_(epsilon->0+)int_a^(b-epsilon)f(x)dx$

e inseguito annovera i criteri di integrabilità al finito, quello del confronto e del confronto asintotico.
La mia confusione cresce esponenzialmente perchè non mi è chiaro quando una funzione è integrabile o meno e perchè gli esercizi , come giusto che sia, si discostano dalla pura teoria.
Se mi chiarissi le idee ti sarei immensamente grato

[gugo82]

"Simaker":dunque il libro spiega l'integrazione di funzioni non limitate con la formula:

$int_a^bf(x)dx = lim_(epsilon->0+)int_a^(b-epsilon)f(x)dx$

e inseguito annovera i criteri di integrabilità al finito, quello del confronto e del confronto asintotico.
La mia confusione cresce esponenzialmente perchè non mi è chiaro quando una funzione è integrabile o meno e perchè gli esercizi , come giusto che sia, si discostano dalla pura teoria.

Gli esercizi non si discostano mai dalla teoria.

Consideriamo l'integrando:
\[
f(x):=\frac{1}{x+e^x}
\]
in \([-1,1]\).
Evidentemente, la \(f\) è il reciproco della funzione \(\phi (x):=x+e^x\) e tale funzione è continua in \([-1,1]\) ed assume valore positivo [risp. negativo] in \(1\) [risp. \(-1\)]: pertanto (teorema degli zeri) esiste un punto \(x_0\in ]-1,1[\) tale che \(\phi (x_0)=0\); tale punto è unico, perché \(\phi \) è strettamente crescente (infatti \(\phi^\prime (x)=1+e^x\geq 1>0\) in \([-1,1]\)).
Conseguentemente, l'integrando è definito in \([-1,x_0[\cup]x_0,1]\) ed è non limitato intorno a \(x_0\), poiché risulta:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^-} f(x) &= \lim_{x\to x_0^-} \frac{1}{\phi (x)} = -\infty \\
\lim_{x\to x_0^+} f(x) &= \lim_{x\to x_0^+} \frac{1}{\phi (x)} = +\infty\; ,
\end{split}
\]
e perciò l'integrale assegnato è da intendersi in senso improprio.
L'integrale, dunque, esiste finito se e solo se i limiti:
\[
\tag{1}
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{x_0+\varepsilon}^1 f(x)\ \text{d} x\qquad \text{e} \qquad \lim_{\delta \to 0^+} \int_{-1}^{x_0-\delta} f(x)\ \text{d} x
\]
non sono entrambi infiniti e di segno discorde.
Ma ciò non accade: infatti, \(x_0\) è uno zero d'ordine \(1\) per \(\phi\) in quanto lo sviluppo di Taylor di \(\phi\) intorno a \(x_0\) è del tipo:
\[
\phi (x)=\phi (x_0)+\phi^\prime (x_0) (x-x_0)+\text{o}(x-x_0) = (1+e^{x_0})(x-x_0)+\text{o}(x-x_0)
\]
e la prima potenza di \(x-x_0\) che compare nello sviluppo è proprio quella di primo grado; dunque \(f\) è un infinito in \(x_0\) d'ordine \(1\) risultando:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{|f(x)|}{\frac{1}{|x-x_0|}} = \lim_{x\to x_0} \frac{|x-x_0|}{(1+e^{x_0})|x-x_0|} = \frac{1}{1+e^{x_0}}=:C\neq 0\; ;
\]
da ciò segue immediatamente che:
\[
f(x) \approx \frac{C}{x-x_0}\quad \text{intorno a } x_0
\]
e perciò entrambi i limiti (1) sono infiniti, il primo di segno positivo, il secondo di segno negativo.
Quindi la funzione \(f\) non è impropriamente integrabile in \([-1,1]\).

A maggior ragione, la funzione non è sommabile in \([-1,1]\).

[Simaker]

Grazie, molto chiaro.
L'unica cosa che non capisco è come l'ordine di annullamento di una funzione derivabile possa inficiare sulla integrabilità di una funzione...