$ int df(x,y) $
Ciao a tutti vorrei chiedervi qualche riferimento bibliografico riguardo questo tipo di integrale
$ int df(x,y) $
in particolare vorrei sapere se sia corretto questo tipo di trasformazione
$ int df(x,y) = int(partial f)/(partial x) dx + int(partial f)/(partial y) dy $
grazie
$ int df(x,y) $
in particolare vorrei sapere se sia corretto questo tipo di trasformazione
$ int df(x,y) = int(partial f)/(partial x) dx + int(partial f)/(partial y) dy $
grazie
Risposte
Dipende da cosa denota il simbolo usato... Così com'è può voler dire tutto e niente.
Insomma, serve un po' di contesto in più per rispondere.
Insomma, serve un po' di contesto in più per rispondere.
Ciao Gugo spero di poter soddisfare la tua richiesta con questa risposta:
Parlo di un semplice integrale di Riemann in cui
$ f:R^2 rarr R $
l'uguaglianza da me scritta è semplicemente frutto del seguente ragionamento
considero il differenziale di $f(x,y)$ ovvero
$ df(x,y) = (partial f)/(partial x) dx + (partial f)/(partial y) dy$
da qui il passo è breve, in analogia al procedimento di risoluzione delle equazioni differnziali (Metodo Urangutang?) ho agginto l'itegrale
$int df(x,y) = int(partial f)/(partial x) dx + int(partial f)/(partial y) dy$
quindi ad esempio se considerassimo un integrale funzionale del tipo
$int F(x,f(x,y))df(x,y)$ mi chiedo se sia corretto scrivere
$int F(x,f(x,y))(partial f)/(partial x) dx + int F(x,f(x,y))(partial f)/(partial y) dy$
Parlo di un semplice integrale di Riemann in cui
$ f:R^2 rarr R $
l'uguaglianza da me scritta è semplicemente frutto del seguente ragionamento
considero il differenziale di $f(x,y)$ ovvero
$ df(x,y) = (partial f)/(partial x) dx + (partial f)/(partial y) dy$
da qui il passo è breve, in analogia al procedimento di risoluzione delle equazioni differnziali (Metodo Urangutang?) ho agginto l'itegrale
$int df(x,y) = int(partial f)/(partial x) dx + int(partial f)/(partial y) dy$
quindi ad esempio se considerassimo un integrale funzionale del tipo
$int F(x,f(x,y))df(x,y)$ mi chiedo se sia corretto scrivere
$int F(x,f(x,y))(partial f)/(partial x) dx + int F(x,f(x,y))(partial f)/(partial y) dy$
forse il messaggio precedente non meritava risposta, spero che il seguente possa essere meritevole.
consideriamo il il seguente integrale $int F(g(x),h(y))dx$
lo possiamo scrivere nel modo seguente
$ (partial int int F(g(x),h(y))dxdy)/(partial y) $
per adesso consideriamo soltanto $int int F(g(x),h(y))dxdy$
ora ipotizziamo che y sia funzione di due variabili $y=y(u,v)$ e che $x=v$
quindi a questo punto potremmo fare un cambio di variaibli di integrazione
$int int F(g(x),h(y))| (partial y)/(partial u) *(partial y)/(partial v)-(partial x)/(partial u) |dudv$ e quindi
$int F(g(x),h(y))dx= (partial int int F(g(x),h(y))| (partial y)/(partial u) *(partial y)/(partial v)-(partial x)/(partial u) |dudv)/(partial y) $
Quindi vi chiedo è giusto quest'ultima uguaglianza?
consideriamo il il seguente integrale $int F(g(x),h(y))dx$
lo possiamo scrivere nel modo seguente
$ (partial int int F(g(x),h(y))dxdy)/(partial y) $
per adesso consideriamo soltanto $int int F(g(x),h(y))dxdy$
ora ipotizziamo che y sia funzione di due variabili $y=y(u,v)$ e che $x=v$
quindi a questo punto potremmo fare un cambio di variaibli di integrazione
$int int F(g(x),h(y))| (partial y)/(partial u) *(partial y)/(partial v)-(partial x)/(partial u) |dudv$ e quindi
$int F(g(x),h(y))dx= (partial int int F(g(x),h(y))| (partial y)/(partial u) *(partial y)/(partial v)-(partial x)/(partial u) |dudv)/(partial y) $
Quindi vi chiedo è giusto quest'ultima uguaglianza?
sia T un dominio regolare del piano u,v
$ { ( x = x(u,v) ),( y = y(u,v) ):} $
con (u,v) $ in $ T ed (x,y) $ in $ C^1 (T, R)
quando faccio il cambio di variabili non devo far altro che introdurre il det. jacobiano
det $ (partial (x,y))/(partial (u,v)) $ = $ (partial x )/ (partial u)\cdot (partial y)/(partial v) - (partial y)/(partial u)\cdot(partial x )/ (partial v) $
nel caso specifico mi sembra di aver capito che siamo nel caso in cui
$ { ( x = v ),( y = y(u,v) ):} $
calcolo il det jacobiano: $ | ( (partial x )/ (partial u), (partial x )/ (partial v) ),( (partial y)/(partial u) , (partial y)/(partial v) ) | $ = $ | ( 0 , 1 ),( (partial y)/(partial u) , (partial y)/(partial v) ) | $ = $ - (partial y)/(partial u) $
l'integrale diventa allora:
$ (partialint int F(g(x),h(y))\cdot (- (partial y)/(partial u)) du dv )/ (partial y) $
Ciao
$ { ( x = x(u,v) ),( y = y(u,v) ):} $
con (u,v) $ in $ T ed (x,y) $ in $ C^1 (T, R)
quando faccio il cambio di variabili non devo far altro che introdurre il det. jacobiano
det $ (partial (x,y))/(partial (u,v)) $ = $ (partial x )/ (partial u)\cdot (partial y)/(partial v) - (partial y)/(partial u)\cdot(partial x )/ (partial v) $
nel caso specifico mi sembra di aver capito che siamo nel caso in cui
$ { ( x = v ),( y = y(u,v) ):} $
calcolo il det jacobiano: $ | ( (partial x )/ (partial u), (partial x )/ (partial v) ),( (partial y)/(partial u) , (partial y)/(partial v) ) | $ = $ | ( 0 , 1 ),( (partial y)/(partial u) , (partial y)/(partial v) ) | $ = $ - (partial y)/(partial u) $
l'integrale diventa allora:
$ (partialint int F(g(x),h(y))\cdot (- (partial y)/(partial u)) du dv )/ (partial y) $
Ciao
sisi ha ragione grazie mille
grazie mille
ho un solo dubbio. Non dovremmo aggiungere il valore assoluto? ovvero
$(partialint int F(g(x),h(y))\cdot |(- (partial y)/(partial u))| du dv )/ (partial y)$
$(partialint int F(g(x),h(y))\cdot |(- (partial y)/(partial u))| du dv )/ (partial y)$
Che sbadato, certo che ci vuole 
ok grazie ancora
Di nulla
"gabriele81":
forse il messaggio precedente non meritava risposta, spero che il seguente possa essere meritevole.
Forse ti è sfuggito che per tre giorni non ho proprio postato sul forum... Ad ogni modo, per il futuro, tieni a mente che gli utenti non hanno obbligo di risposta.
Per il resto, l'uso che proponi del simbolo di integrale non è il massimo per due motivi: in primis, l'integrale della forma differenziale lineare:
\[
f_x(x,y)\ \text{d} x + f_y(x,y)\ \text{d} y
\]
è un integrale di linea e non di volume ed il simbolo che scegli non esplicita questa differenza; in secundis, un simbolo del tipo:
\[
\int_X u(x,y)\ \text{d} f(x,y)
\]
si usano per denotare integrali del tipo di Lebesgue-Stieltjes.
Ciao mi chiedevo se avesse senso calcolare ad esempio $int_(2)^(3) d(3x^2)dx$ e se il risultato fosse unico. La mia risposta è che ha senso, tuttavia il risultato non è uno solo. Infatti, $d(3x^2)$ coincide per definizione con $6x*Deltax$, dove $Deltax$ è un qualunque numero positivo o negativo diverso da zero, quindi una possibile funzione integranda potrà essere $6x*8$; in generale la funzione integranda sarà del tipo $6x*a$, con $a in RR$ non nullo e quindi il risultato generale dell'integrale definito sarà $[3ax^2]_(2)^(3)$. Dunque il risultato non è unico, perché ce ne sono infiniti per ogni valore di $a$. Siete d'accordo?
@ lisdap: Dovreste mettervi daccordo su cosa significhi "integrare un differenziale".. Poi ne parliamo.
Inoltre, la questione del significato del differenziale è stata analizzata in diverse occasioni ed in parecchi post (miei e di altri). Ti consiglio di cercarli, prima di riprendere una china che pensavo avessi abbandonato tempo fa.
Inoltre, la questione del significato del differenziale è stata analizzata in diverse occasioni ed in parecchi post (miei e di altri). Ti consiglio di cercarli, prima di riprendere una china che pensavo avessi abbandonato tempo fa.
Ummm....ha senso invece la scrittura $int d (3x^2)$ ? La funzione integranda e` 1 che si puo` tranquillamente vedere come funzione di $3x^2$, soddisfacendo le ipotesi della definizione.
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