$int_{1}^{x} sign(x)$.

[billytalentitalianfan]

Sia $f(x)=sign(x)$;
calcola $\int_{1}^{x} f(x)$.

Distinguo due casi:
se $x>=0$, calcolo $\int_{1}^{x}1$ $=[x]_{1}^{x}$ $=x-1$

se $x<0$ ,$\int_{1}^{x}f(x) = \int_{0}^{1} 1+ \int_{x}^{0} -1= [x]_{0}^{1} + [-x]_{x}^{0} = 1+x$ .

1)Il risultato è ovviamente sbagliato! Perché?
2)Nel caso $x>=0$ (svolto secondo i suggerimenti del libro), impostando l'integrale in quel modo, non sto ignorando la porzione di area tra 0 e 1?
Perché non dovrei aggiungere quindi $\int_{x}^{1}1$ ?

[ObServer]

Io credo che ci sia molta confusione anche solo per come è stata scritta. Allora, tanto per cominciare, la variabile che inserisci come estremo superiore dell'intervallo di integrazione non può essere la stessa $x$ e, continuando, non vedo da nessuna parte il $dx$. Ad ogni modo, a prescindere se studi per $x>=0$ o meno, credo che ti sei confuso appunto perchè non hai utilizzato due variabili diverse, se ti viene chiesto genericamente quanto vale quell'integrale, dovresti rispondere, io credo, solo per quei valori di $t$ maggiori di 1 (osserva dove ho messo $t$):

$int_{1}^{t} \ sgn(x) dx$

Per valori di $t<1$ (se fosse $t=1$ credo che sarebbe banalmente $0$), non so se l'esercizio vuole sapere, ci riconduciamo al caso

$-int_{t}^{1} \ sgn(x) dx$

e si riapplica quanto detto. Poi, i vari casi che riguardano $sgn(x)$ sono sottocasi di questi due casi qua, quindi applichi dove dovuto, e chiaramente da qualche parte (dipende dagli estremi di integrazione) vai a studiare anche la "zona" tra 0 ed 1.

[billytalentitalianfan]

Un po' me ne vergogno ma...non riesco a seguirti!

[ObServer]

Allora, chiamando $t$ la variabile che troviamo come estremo superiore dell'intervallo di integrazione, l'eserzio ti dice in quale intervallo studiare la $t$? Se non te lo dice, allora io suppongo $t in RR$. Bene, allora distinguiamo i due casi in cui $t>1$, e $t<1$ (il caso $t=1$ è banale, poichè l'integrale sarà sicuramente $0$).

A questo punto, distingui i sottocasi che riguardano $sgn(x)$ in uno dei due casi sopra riportati (vedrai tu quale). Poi, in aggiunta, ti ho ricordato che

$int_{a}^{b} \ f(x) dx = -int_{b}^{a} \ f(x)dx$ (presumendo la $f(x)$ integrabile in $(a,b)$)

che potrebbe aiutarti.