$ int (1+sin^2(x))^2 dx $

[Sk_Anonymous]

Devo risolvere

$ int (1+sin^2(x))^2 dx $

Sviluppando il quadrato mi esce un $sin^4(x)$ che non so bene come trattare, se non con sostituzione. Pertanto ho provato ad applicare la sostituzione direttamente all'inizio ottenendo:

$t=sin^2(x)$ => $x=arcsen(sqrt(t))$

$dx = (1/(sqrt(1-t)) dt$

L'integrale diventa $int ((1+t)^2 / sqrt(1-t)) dt$

Ma non so come proseguire ... un piccolo aiutino?

[maurer]

Io odio i [tex]\sin^2(x)[/tex]. Pertanto mi sono premurato di marchiare a fuoco nella mia testa le identità [tex]\displaystyle \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}[/tex] e [tex]\displaystyle \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}[/tex]. Quell'esercizio lo puoi sicuramente fare ripetendo finché necessarie queste sostituzioni.

[Gi81]

OT

"maurer":Io odio i [tex]\sin^2(x)[/tex]

/OT

[n1ghtmar3]

o da li vai avanti due volte per parti ponendo come fattore finito il numeratore oppure svolgi quel quadrato all'inizio e ti risolvi i 3 integrali, il quadrato del primo e il doppio prodotto sono facili, il $sen^4(x)$ lo tratterei come suggerisce maurer ossia: $ sen^2(x) - (cos(x)sen(x))^2$

[maurer]

"Gi8":OT[quote="maurer"]Io odio i [tex]\sin^2(x)[/tex]

/OT[/quote]
Sì. L'idea era proprio quella!

[Sk_Anonymous]

Ci sono riuscito ... grazie per l'aiuto

[Richard_Dedekind]

Esiste una formula di ricorrenza per gli integrali del tipo [tex]\sin^n x,\;\;n\in\mathbb{N}[/tex] che deriva proprio dall'iterazione dell'identità goniometrica di bisezione. Quindi secondo me conviene trattare il [tex]\sin^4x[/tex] come ha suggerito maureer.