Insolita applicazione della regola della catena 2
Stavo leggendo la soluzione al problema del moto di un corpo in un potenziale centrale \(\displaystyle V(r) \), dal libro di Nivaldo Lemos, Analythical Mechanics, pag. 32-33. Lui imposta il problema in 2D con coordinate polari \(\displaystyle r(t) \),\(\displaystyle \phi(t) \), giungendo alle seguenti equazioni:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
E=\frac{m}{2}\dot{r}^2(t)+\frac{l^2}{2mr^2(t)}+V(r)
\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( mr^2(t) \dot{\phi}(t)\right )=0
\end{matrix}\right. \)
Poi dice che, grazie alla proprietà \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi} \) e grazie alla seconda equazione, lui riassume il problema nella singola equazione che segue:
\(\displaystyle \frac{l^2}{2mr^4(\phi)}\left ( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi} \right )^2+\frac{l^2}{2mr(\phi)}+V(r(\phi))=E \).
Quello che a me non torna di questo discorso è che mi sembra che lui abbia implicitamente supposto che si possa passare da \(\displaystyle r(t) \) a \(\displaystyle r(\phi) \). Cosa garantisce che ciò sia possibile? E se avessi avuto invece una traiettoria così?
Grazie in anticipo.
PS: questa discussione è una copia di una già esistente 'Insolita applicazione della regola della catena' che ho dovuto replicare per forza, come spiegato nella sezione 'Questioni tecniche del Forum (NON di matematica)'. Avevo già ricevuto delle risposte, ma non avevo ancora capito come esse sciogliessero il mio dubbio, per cui ripropongo la domanda scusandomi con chi aveva già inserito delle risposte.
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
E=\frac{m}{2}\dot{r}^2(t)+\frac{l^2}{2mr^2(t)}+V(r)
\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( mr^2(t) \dot{\phi}(t)\right )=0
\end{matrix}\right. \)
Poi dice che, grazie alla proprietà \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi} \) e grazie alla seconda equazione, lui riassume il problema nella singola equazione che segue:
\(\displaystyle \frac{l^2}{2mr^4(\phi)}\left ( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi} \right )^2+\frac{l^2}{2mr(\phi)}+V(r(\phi))=E \).
Quello che a me non torna di questo discorso è che mi sembra che lui abbia implicitamente supposto che si possa passare da \(\displaystyle r(t) \) a \(\displaystyle r(\phi) \). Cosa garantisce che ciò sia possibile? E se avessi avuto invece una traiettoria così?
Grazie in anticipo.
PS: questa discussione è una copia di una già esistente 'Insolita applicazione della regola della catena' che ho dovuto replicare per forza, come spiegato nella sezione 'Questioni tecniche del Forum (NON di matematica)'. Avevo già ricevuto delle risposte, ma non avevo ancora capito come esse sciogliessero il mio dubbio, per cui ripropongo la domanda scusandomi con chi aveva già inserito delle risposte.
Risposte
Ciao Silent, ti avevo risposto ma purtroppo la risposta è indisponibile. Comunque basta che consideri la seguente
$r(t)=t$
$phi(t)=t$
Puoi tranquillamente fare $r(phi)=phi$ pur essendo una traiettoria aperta (spirale di Archimede).
Questo perché $phi$ è una variabile ciclica ma non limitata.
$r(t)=t$
$phi(t)=t$
Puoi tranquillamente fare $r(phi)=phi$ pur essendo una traiettoria aperta (spirale di Archimede).
Questo perché $phi$ è una variabile ciclica ma non limitata.
Quindi, se ho capito bene la tua risposta, il fatto chiave è che \(\displaystyle \phi(t) \) può assumere valori anche fuori da \(\displaystyle (0,2\pi) \), giusto?
Se è così però, tale passaggio di coordinate (da cartesiano a sferico, appunto) non è più un diffeomorfismo, cosa che lui dà per scontata quando cambia coordinate nella lagrangiana.
Se è così però, tale passaggio di coordinate (da cartesiano a sferico, appunto) non è più un diffeomorfismo, cosa che lui dà per scontata quando cambia coordinate nella lagrangiana.
Nell'esempio l'angolo poteva esuberare $2pi$ perchè nella parametrizzazione delle curve spesso è più facile e conveniente lavorare anche con i multipli di $2pi$, alla stessa stregua di quando si lavora con le funzioni trigonometriche. Se però vuoi avere l'invertibilità in modo da avere un diffeomorfismo per il cambio di variabili, puoi ricondurre tutti gli angoli a $(0,2pi)$, (esattamente quello che si fa in trigonometria per le funzioni inverse) senza necessariamente che le traiettorie siano chiuse per forza.
Ad esempio la spirale di Archimede può essere descritta anche dalla seguente parametrizzazione (dove [ ] parte intera) con $phi$ limitato a $(0,2pi)$
$r=t$
$phi = t- 2*pi*[t/(2pi)]$
Formalmente quindi puoi limitare il campo a $(0,2pi)$. La funzione $phi$ però potrebbe perdere il fatto di essere una funzione continua e derivabile, per cui ti offro un approccio alternativo al problema.
Nel Fasano Marmi "Meccanica Analitica" l'approccio è infatti leggermente diverso e in linea con il fatto che l'angolo non sia limitato a $(0,2pi)$. Si dice che se il momento angolare $l>0$ allora $phi(t)$ è una funzione monotona crescente del tempo (ovviamente vale lo stesso nel caso di valore negativo per cui sarà monotona decrescente) e quindi invertibile. Pertanto si può porre $t=t(phi)$ per cui sostituendo si può scrivere $r=r(phi)$
Ad esempio la spirale di Archimede può essere descritta anche dalla seguente parametrizzazione (dove [ ] parte intera) con $phi$ limitato a $(0,2pi)$
$r=t$
$phi = t- 2*pi*[t/(2pi)]$
Formalmente quindi puoi limitare il campo a $(0,2pi)$. La funzione $phi$ però potrebbe perdere il fatto di essere una funzione continua e derivabile, per cui ti offro un approccio alternativo al problema.
Nel Fasano Marmi "Meccanica Analitica" l'approccio è infatti leggermente diverso e in linea con il fatto che l'angolo non sia limitato a $(0,2pi)$. Si dice che se il momento angolare $l>0$ allora $phi(t)$ è una funzione monotona crescente del tempo (ovviamente vale lo stesso nel caso di valore negativo per cui sarà monotona decrescente) e quindi invertibile. Pertanto si può porre $t=t(phi)$ per cui sostituendo si può scrivere $r=r(phi)$
Ti ringrazio.
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