Insiemi trascurabili

[CiUkInO1]

Qualcuno mi sa dire cosa si intende per insiemi trascurabili,ovvero di misura nulla?

Magari illustrando qualche esempio significativo.

Inoltre so che l'insieme dei numeri naturali è un insieme trascurabile,vi è una dimostrazione rigorosa di questa cosa?

Grazie e saluti

[Sk_Anonymous]

"CiUkInO":Qualcuno mi sa dire cosa si intende per insiemi trascurabili,ovvero di misura nulla?

Magari illustrando qualche esempio significativo.

Inoltre so che l'insieme dei numeri naturali è un insieme trascurabile,vi è una dimostrazione rigorosa di questa cosa?

Grazie e saluti

...immagino si tratti di misura di Lebesgue. Ebbene, la misura $\mu$ di Lebesgue (fra le altre proprietà) è numerabilmente additiva. Questo vuol dire che, se $\{A_i\}$ è una collezione numerabile di insiemi L-misurabili, allora $A = \cup_{i} A_i$ è anch'esso misurabile, e inoltre $\mu(A) = \sum_{i} \mu(A_i)$. Da qui è immediato concludere che $\mu(\mathbb{N}) = 0$, i.e. che $\mathbb{N}$ è un insieme trascurabile (nel senso della misura di Lebesgue). Anzi si può dedurne che ogni insieme numerabile è trascurabile.

[Kroldar]

Un insieme $E sub RR$ ha misura nulla (secondo Lebesgue) se per ogni $epsilon>0$, esiste una successione (finita o al più infinita numerabile) di intervalli aperti che ricoprono $E$ e tali che la somma delle loro ampiezze sia minore o uguale $epsilon$ (possa insomma essere resa piccola a piacere). Adesso in base alla definizione, considera l'intervallo $]-oo,+oo[$... in esso sono contenuti infiniti numerali naturali, ma la loro successione è numerabile, ovvero può essere "contata", dunque ricopri i vari numeri naturali con intervalli di dimensione variabile in questo modo: ricopri un numero naturale con un intervallo di ampiezza $epsilon/2$ poi un altro con un intervallo di ampiezza $epsilon/4$, poi $epsilon/8$, $epsilon/16$, $epsilon/32$ e così via; ragionando così all'infinito avrai ricoperto tutti i numeri naturali con un intervallo piccolo a piacere (tanto ogni numero sulla retta reale equivale a un punto, perciò anche un intervallo infinitesimale può ricoprire un numero singolo)... ricordando la serie geometrica di ragione $1/2$ vediamo che la somma di tutti gli intervalli è proprio uguale a $epsilon$. Dunque rispetto alla retta reale, l'insieme dei numeri naturali è trascurabile

[amel3]

Un insieme A di $RR^n$ ha misura nulla (di Lebesgue) se la misura esterna $m^#(A)=0$.
Un tale insieme è misurabile perchè, dalla definizione di misurabilità data da Lebesgue, $0<=m_#(A)<=m^#(A)=0$; quindi, $m(A)=m_#(A)=m^#(A)=0$. Allo stesso modo si può provare con la definizione di misurabilità secondo Caratheodory.
Un insieme finito o numerabile ha misura nulla. Infatti, un insieme costituito da un singolo punto $A={(a_1,...,a_n)}$ ha misura nulla perchè è un plurinitervallo banale $[a_1,a_1]x...x[a_n,a_n]$. Un insieme costituito da una famiglia finita o numerabile di punti $A={a_k}$ ha misura nulla; in effetti, $m^#(A)<=sum m^#({a_k})=0$ e così $m(A)=m^#(A)=0$.