Insiemi semplici
ciao a tutti,
studiando gli integrali doppi per preparare l esame di analisi 2 mi sono imbattuto in un insieme di questo tipo
{ (x,y) | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 }
e sto trovando molte difficoltà nel riuscire a renderlo semplice (sia x-semplice che y-semplice).
ho provato a cambiare le variabili sostituendo le coordinate polari ma non semplifica i calcoli.
ringrazio in anticipo chi mi aiuterà
studiando gli integrali doppi per preparare l esame di analisi 2 mi sono imbattuto in un insieme di questo tipo
{ (x,y) | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 }
e sto trovando molte difficoltà nel riuscire a renderlo semplice (sia x-semplice che y-semplice).
ho provato a cambiare le variabili sostituendo le coordinate polari ma non semplifica i calcoli.
ringrazio in anticipo chi mi aiuterà
Risposte
Puoi riportare anche l'integrale?
Ciao leo.p,
Benvenuto sul forum!
Se ho capito bene hai il dominio seguente:
$D = {(x,y) \in \RR^2 | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 } $
La prima cosa che mi viene in mente guardandolo è porre $u := xy $ sicché $4 <= u <= 8 $.
Le coordinate polari invece proprio le escluderei...
Per quanto riguarda cosa conviene porre l'altra variabile $v$ mi verrebbe da dire $v := xy^3 $ sicché $5 <= v <= 15 $, ma quoto 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6:
Benvenuto sul forum!
Se ho capito bene hai il dominio seguente:
$D = {(x,y) \in \RR^2 | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 } $
La prima cosa che mi viene in mente guardandolo è porre $u := xy $ sicché $4 <= u <= 8 $.
"leo.p":
ho provato a cambiare le variabili sostituendo le coordinate polari ma non semplifica i calcoli.
Le coordinate polari invece proprio le escluderei...
Per quanto riguarda cosa conviene porre l'altra variabile $v$ mi verrebbe da dire $v := xy^3 $ sicché $5 <= v <= 15 $, ma quoto 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6:
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Puoi riportare anche l'integrale?
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Puoi riportare anche l'integrale?
l'esercizio richiede di studiare l area dell'insieme e quindi per integranda si prende la funzione costante 1 se non erro.
Quindi l'integrale proposto è il seguente:
$\int\int_D \text{d}x \text{d}y $
ove $D = {(x,y) \in \RR^2 | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 } $
In tal caso confermo la trasformazione che ho già suggerito. Si osservi che necessariamente $x$ e $y$ devono essere concordi, per cui per comodità supponiamo anche $x > 0 $ e $y > 0 $ (non è difficile capire cosa cambia se $x < 0 $ e $y < 0 $) sicché si ha:
${(u = xy),(v = xy^3):} \implies {(x = u/y),(v = uy^2):} \implies {(x = \sqrt{u^3/v}),(y = \sqrt{v/u}):} $
Occhio alla jacobiano della trasformazione nella risoluzione dell'integrale proposto...
$\int\int_D \text{d}x \text{d}y $
ove $D = {(x,y) \in \RR^2 | 4 <= xy <= 8 ; 5 <= xy^3 <= 15 } $
In tal caso confermo la trasformazione che ho già suggerito. Si osservi che necessariamente $x$ e $y$ devono essere concordi, per cui per comodità supponiamo anche $x > 0 $ e $y > 0 $ (non è difficile capire cosa cambia se $x < 0 $ e $y < 0 $) sicché si ha:
${(u = xy),(v = xy^3):} \implies {(x = u/y),(v = uy^2):} \implies {(x = \sqrt{u^3/v}),(y = \sqrt{v/u}):} $
Occhio alla jacobiano della trasformazione nella risoluzione dell'integrale proposto...
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