Insiemi $p$-stabili risp. alla capacità

[gugo82]

Leggendo un articolo ho trovato questa definizione:

Un insieme [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$[/tex] si dice [tex]$p$[/tex]-stabile (rispetto alla capacità) se e solo se per ogni [tex]$u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$[/tex] si ha:

(*) [tex]$u=0\ \text{q.o. in $\mathbb{R}^N\setminus \overline{\Omega}$}\ \Rightarrow\ u=0\ \text{q.o. in $\mathbb{R}^N\setminus \Omega$}$[/tex].

Sbaglio a interpretare o, in parole povere, la (*) vuol dire che qualsiasi funzione di Sobolev che sia nulla fuori da [tex]$\Omega$[/tex] è nulla pure sulla frontiera di [tex]$\Omega$[/tex] e, quindi, può essere riguardata come funzione di [tex]$W_0^{1,p}(\Omega)$[/tex]?

Altre questioni che mi vengono in mente sono: cosa ha a che fare la nozione di [tex]$p$[/tex]-stabilità colla regolarità di [tex]$\Omega$[/tex]?
Esiste qualche esempio semplice di insieme [tex]$p$[/tex]-stabile ed insieme non [tex]$p$[/tex]-stabile?

Ho dato uno sguardo al testo di Henrot & Pierre, Variation et optimisation de formes, ma non ho capito molto dove si vuole andare a parare con questa nozione né l'idea intuitiva che c'è dietro (a quanto ho capito, la nozione nasce quando si vogliono analizzare degli insiemi che presentano delle "fratture")... Qualcuno ne sa qualcosa?

[Rigel1]

Di queste cose non so molto, posso al massimo dare un'opinione.
Il risultato da te citato mi sembra avere una certa parentela con quest'altro (che puoi trovare su Maly-Ziemer, "Fine regularity...", Thm. 2.15).

Siano [tex]$A, B\subset\mathbb{R}^n$[/tex] aperti con [tex]$|B\setminus A| = 0$[/tex].
Allora [tex]$v\lfloor A \in W_0^{1,p}(A)$[/tex] per ogni [tex]$v\in W_0^{1,p}(B)$[/tex] se e solo se [tex]$B\setminus A$[/tex] ha [tex]$p$[/tex]-capacità nulla.