Insiemi misurabili
devo dire se l'insieme [tex]\{(x, x \sin{\frac 1x} \mid x \in (0,1] \}[/tex] è misurabile. io ho pensato che essendo una funzione continua nell'intervallo (0,1], $x sin(1/x)$ è integrabile. quindi, per il teorema che afferma che le f integrabili in un intervallo hanno il grafico di misura nulla, deduco che abbia misura nulla pure l'insieme incriminato. è corretto? ci sono altre vie per farlo?
grazie..
grazie..
Risposte
si il ragionamento è corretto, anche se, come dire, fai forse strada inutile 
puoi subito verere che il generale se hai una curva $\alpha(x)=(x(t),y(t))$ - o anche in $RR^N$, con $N>=2$ - questa ha misura nulla.
puoi subito verere che il generale se hai una curva $\alpha(x)=(x(t),y(t))$ - o anche in $RR^N$, con $N>=2$ - questa ha misura nulla.
Beh, questo non è vero: prendi ad esempio la curva di Peano.
( http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Peano )
( http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Peano )
@Rigel: Mi sono permesso di aggiungere uno spazio tra la parentesi e "http://", ora il parser riconosce il link.
@fu^2: Quello che dici è falso, ma diventa vero se consideri curve regolari a tratti e anche in casi più generali che però non conosco bene... Il teorema grosso sull'argomento è quello di Sard:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sard%27s_theorem
@fu^2: Quello che dici è falso, ma diventa vero se consideri curve regolari a tratti e anche in casi più generali che però non conosco bene... Il teorema grosso sull'argomento è quello di Sard:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sard%27s_theorem
scusate, non era $ x sin(1/x) $ bensì $ sin(1/x) $.. poi mi sono dimenticato di specificare che la misurabilità era intesa nel senso di peano-jordan
Grazie dissonance per la correzione.
@enr87: puoi fare anche una dimostrazione elementare del fatto che se $f:I\to RR$ è una funzione continua, allora il suo grafico ha misura nulla.
Innanzi tutto, ti basta considerare un intervallo compatto; infatti puoi scrivere sempre $I = \cup_n I_n$, con $I_n$ compatto. Se il grafico della restrizione di $f$ a $I_n$ ha misura nulla per ogni $n$, allora anche il grafico complessivo di $f$ avrà misura nulla.
Una volta che ti sei ristretto a un intervallo compatto, puoi sfruttare l'uniforme continuità per dimostrare che, per ogni $\epsilon > 0$, la misura del grafico è minore di $\epsilon$ (e questo ovviamente implica che tale misura debba essere nulla).
@enr87: puoi fare anche una dimostrazione elementare del fatto che se $f:I\to RR$ è una funzione continua, allora il suo grafico ha misura nulla.
Innanzi tutto, ti basta considerare un intervallo compatto; infatti puoi scrivere sempre $I = \cup_n I_n$, con $I_n$ compatto. Se il grafico della restrizione di $f$ a $I_n$ ha misura nulla per ogni $n$, allora anche il grafico complessivo di $f$ avrà misura nulla.
Una volta che ti sei ristretto a un intervallo compatto, puoi sfruttare l'uniforme continuità per dimostrare che, per ogni $\epsilon > 0$, la misura del grafico è minore di $\epsilon$ (e questo ovviamente implica che tale misura debba essere nulla).
in realtà l'uniforme continuità è un concetto che introduce più avanti con le funzioni lipschitziane, quindi è una strada che vorrei evitare. ma il mio modo è sbagliato?
No, è corretto.
Il fatto è che l'uniforme continuità ti serve per dimostrare che una funzione continua in un intervallo compatto è Riemann-integrabile...
Il fatto è che l'uniforme continuità ti serve per dimostrare che una funzione continua in un intervallo compatto è Riemann-integrabile...
mmm.. quest'ultima cosa non me l'hanno mai dimostrata, se non sbaglio era un teorema di analisi 1 comunque. a questo punto direi che il problema è risolto così perchè non vedo altre vie, grazie a tutti
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