Insiemi misurabili

[Sk_Anonymous]

sto provando a dimostrare la seguente affermazione:

in $RR^2$ un segmento S parallelo ad un asse ha misura (bidimensionale) nulla

prendiamo ad esempio $S={(x,y) in RR^2 : x in [a,b], y=y_0}

per la definizione di insieme misurabile, S è misurabile se la funzione caratteristica di S,

$K_S={(1, (x,y) in S),(0, (x,y) !in S):}$ è integrabile in un rettangolo Q contenente S: $S sube Q

Applicando il criterio di integrabilità per funzioni definite su un rettangolo Q, la funzione $K_S$ è integrabile in Q se e solo se

per ogni $epsilon >0$ esiste una suddivisione $D_epsilon$ di Q tale che $S(D_epsilon,K_S)-s(D_epsilon,K_S)
sia $S sube Q:=[a,b] xx [y_0-epsilon/(b-a),y_0+epsilon/(b-a)]$ e $D_epsilon$ la suddivisione banale di Q, $D_epsilon={a,b} xx {y_0-epsilon/(b-a),y_0+epsilon/(b-a)},

(se prendessi una suddivisione più fine, comunque ogni rettangolino non può contenere solo punti di S e risulterebbe comunque $\text{inf}_(Q_(ij)) K_S=0$)

la funzione caratteristica non risulta integrabile, infatti $S(D_epsilon,K_S)-s(D_epsilon,K_S)=|Q| \text{sup}_Q K_S - |Q| \text{inf}_Q K_S=|Q| (\text{sup}_Q K_S - \text{inf}_Q K_S)=

$=(b-a)*(y_0+epsilon/(b-a)-y_0+epsilon/(b-a))*(1-0)= 2 epsilon $ non minore di $epsilon

d'altra parte però la funzione di una variabile $y |-> K_S(x,y)$ ha una discontinuità eliminabile in y=y_0, è integrabile per ogni x in [a,b] nel'intervallo $[y_0-epsilon/(b-a),y_0+epsilon/(b-a)]$ e $int_(y_0-epsilon/(b-a))^(y_0+epsilon/(b-a)) 0 dy =0

per la formula di riduzione su rettangoli

$intint_Q K_S(x,y)dxdy=int_a^b int_(y_0-epsilon/(b-a))^(y_0+epsilon/(b-a)) 0dy dx=0 $ (cioè S è misurabile e di misura nulla).

La domanda è: perchè il criterio di integrabilità non è verificato? (dove ho sbagliato?)

[Luca.Lussardi]

Non è sbagliato, tra $2\epsilon$ e $\epsilon$ poco cambia...

Secondo te la seguente definizione di limite è sbagliata?

Per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che per ogni $x \in domf$ con $0 < |x-x_0|<\delta$ si ha $|f(x)-l|<2\epsilon$.

[Sk_Anonymous]

no perchè posto $2epsilon=k

per ogni k>0 esiste $delta>0$ t.c. $AA x in domf$, $0<|x-x_0| |f(x)-L|

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[Sk_Anonymous]

però non sono abituato a vedere relazioni del tipo $2epsilon 2<1

[Luca.Lussardi]

Infatti non devi vedere $2\epsilon<\epsilon$ ma fare la sostituzione che hai fatto rispondendomi.