Insiemi limitati.

[Kashaman]

Sia $A={x in RR | x=n+3/n , AA n in NN} sube RR$ , trovare l'estremo inferiore , superiore ed eventualmente il massimo e il minimo.

Sono un poco legato nello svolgere questo tipo di esercizi.
Ad occhio $A$ sembra non essere limitato superiormente.
Per mostrarlo, devo provare che $AA M in RR : E x in A : x>M$
cioè , equivalentemente che $AA M in RR : EE n in NN : n+3/n>M$
hO che $n+3/n = (n^2+3)/n >M <=> (n^2+3-nM)/n>0$ Da cui, avrei che $n> (M+\sqrt(M^2-12))/2$ quindi A non è limitato superiormente e $su$pA$=+\infty$ ma onestamente, questo tipo di risoluzione mi convince pochissimo. Dato che varrebbe per $M$ sufficientemente grande. Dove sbaglio? grazie mille.

[totissimus]

\( \displaystyle (n-\sqrt{3})^2 \geq 0 \)

\( \displaystyle n^2-2 \sqrt{3}n+3 \geq 0\)

\(\displaystyle n+\frac{3}{n}\geq 2\sqrt{3}\)

Si ottiene l'uguaglianza per \( n=\sqrt{3}\)

[Kashaman]

Aspetta un'attimo mi sto un poco confondendo, ho capito che così facendo si mostra che $A$ è illimitato superiormente, ma come posso porre $n=\sqrt3$ visto che non è di $NN$?

[totissimus]

Hai ragione, non avevo considerato che \( n \in \mathbb{N}\), per \( n\) naturale si vede facilmente che il minimo si raggiunge per \( n=2\) (intero vicino a \(\sqrt{3}\))

[Gi81]

Se posso intromettermi, io avrei fatto così:
fissato $M>0$ reale, certamente esiste $n_0 in NN$ tale che $n_0>M$ (ad esempio \(\displaystyle n_0:= \lfloor M\rfloor +1 \)).

Prendo \(\displaystyle x:= n_0 +\frac{3}{n_0} \in A\). Ora, \(\displaystyle x>n_0>M \).
Quindi comunque si prende $M$ reale positivo, esiste $x in A$ tale che $x>M$. Questo ci dice che $text{sup}(A)= +oo$

[Kashaman]

perfetto Gi8 , chiaro. Hai praticamente utilizzato il fatto che $NN$ non è limitato superiormente fino a ricondurti per maggiorazione a $M

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[Gi81]

Giusto

[Kashaman]

accantono per un attimo l'esercizio, troverò l'inf dopo.
Ora mi preme sapere se è consono , ad esempio procedere in questa maniera su questo insieme :
Considero $C={ (-1)^n/n | n in NN\\{0}} sube RR$
mi chiede di trovare il sup e l'inf, come sopra.
Ho deciso di distinguere due casi, $n$ pari ed $n$ dispari.
Per $n$ pari avrei che ogni $x in C : x= 1/n => AAn 0<=1/n<=1$ (1)
per $n$ dispari avrei che $x= -1/n => AAn -1<=-1/n<=0$(2)
da (1) e (2)
$-1<=-1/n<=0<=1/n<=1 => AAn -1<=(-1)^n/n<=1$
così facendo mostro che $C$ è limitato.
Ad occhio si vede che $i$$nfA=-1$.
Infatti fissato $\epsilon >0 , -1+\epsilon>1/n => n>1/(\epsilon-1)$ se n è pari
$n>1/(1-\epsilon)$ se $n$ è dispari.
Così facendo ho mostrato che $-1$ è l'estremo inferiore di $C$.
Tuttavia, non riesco a trovare l'estremo superiore. intuitivamente direi che è uno, ma non mi torna

[Palliit]

Ciao.
Rispetto all'estremo inferiore del primo esercizio, posto: $x_n=n+3/n$ , si può dimostrare che per $n>=2$ vale:

$x_(n+1)>x_n$ (basta risolvere la disequazione: $n+1+3/(n+1)>n+3/n$ restringendo le soluzioni a $NN_0$), ovvero che la

successione ${x_n}$ è strettamente crescente per $n>=2$ ; pertanto il minimo è $"Min"{x_1, x_2}=x_2=7/2$ , come peraltro già trovato da totissimus.

Sul secondo esercizio, provo a ragionare in modo analogo.

Siano $C_1={x_n=(-1)/(2n+1), forall n in NN}$ e $C_2={y_n=1/(2n), forall n in NN_0}$ ; è evidentemente $C=C_1 uu C_2$ .

Le $x_n in C_1$ sono tutte negative mentre le $y_n in C_2$ sono tutte positive, quindi (se esiste) è $"Max"(C)="Max"(C_2)$ ;

si dimostra subito che $y_(n+1)
Può funzionare?

[Kashaman]

grazie mille è tutto chiaro.

[Mr.Mazzarr]

Una domanda che potrebbe sembrare stupida, ma la cui risposta non l'ho trovata sul mio libro di testo.

Se per definizione il Massimo M di un insieme A è $M>=a , a in A$ e il maggiorante è per definizione $L>=a, a in A$ , qual è la differenza tra Massimo M e maggiorante ?!

L'idea che mi son fatto è che, l'unica differenza, è che $L in B$, con B che è l'insieme dei maggioranti dell'insieme A. E in questo insieme, $L<=b, b in B$, ergo è anche il più piccolo dei maggioranti di A. Ma, per logica di cose, non lo è anche M ?! Allora maggiorante e Massimo M sono due cose identiche ?!

[Gi81]

Sia $A sube RR$, $A$ non vuoto.

$M in A$ è detto il massimo di $A$ (e si scrive $M= maxA$ ) se $AA a in A$ si ha $M>=a$.
(attenzione: non è detto che esista sempre il massimo di un insieme)

$L in RR$ è detto un maggiorante di $A$ se $AA a in A$ si ha $L>=a$.

Quindi la differenza è che $M in A$, mentre $L in RR$.

Esempio: $A=[0,1]$. Il massimo di $A$ è $M=1$ (e non ce ne sono altri), mentre ci sono infiniti maggioranti.
Infatti $L=2$ è un maggiorante, così come $L= 1000$ , $L= 2^100$ e $L=1$.

Certamente, se esiste il massimo, esso è un maggiorante, anzi è il minimo dei maggioranti (prova a dimostrarlo)

[Mr.Mazzarr]

Però dal momento in cui dici che $L>=a$ non implichi che $L$ può appartenere a $A$ ?

[Gi81]

Non necessariamente