Insiemi di misura nulla
ho una congettura: sia $A$ un sottoinsieme di $R^n$ misurabile secondo lebesgue e di misura nulla. E' vero allora che $A$ è contenuto in un insieme numerabile di punti?
Risposte
L'insieme di Cantor ottenuto da $[0,1]$ ha misura di Lebesgue nulla, ma ha la stessa cardinalità di $[0,1]$.
ok..provo a postare anche qui quello che avevo già chiesto in un altro forum...
si può dire che in un sottoinsieme $S$ di $\mathbb{R}^n$ di misura nulla le componenti connesse unione di un numero al più numerabile di sottoinsiemi di $\mathbb{R}^n$ che siano delle varietà topologiche di $\mathbb{R}^n$ di dimensione al più $n-1$?
P.S: la domanda in realtà è molto aperta: magari analizzare se si può dire che sono unione al + numerabile di varietà topologiche però con qualche proprietà in +.
si può dire che in un sottoinsieme $S$ di $\mathbb{R}^n$ di misura nulla le componenti connesse unione di un numero al più numerabile di sottoinsiemi di $\mathbb{R}^n$ che siano delle varietà topologiche di $\mathbb{R}^n$ di dimensione al più $n-1$?
P.S: la domanda in realtà è molto aperta: magari analizzare se si può dire che sono unione al + numerabile di varietà topologiche però con qualche proprietà in +.
"fransis2":
si può dire che in un sottoinsieme $S$ di $\mathbb{R}^n$ di misura nulla le componenti connesse unione di un numero al più numerabile di sottoinsiemi di $\mathbb{R}^n$ che siano delle varietà topologiche di $\mathbb{R}^n$ di dimensione al più $n-1$?
No.
Copio e incollo dalla pagina di Wiki, relativa all'insieme di Cantor citato da Luca:
[...] l'insieme di Cantor è non numerabile ed ha misura di Lebesgue zero. [...] Infine, l'insieme di Cantor è ben lontano dall'essere connesso: in verità, è totalmente disconnesso.
Quindi mi sembra che l'insieme di Cantor sia ancora un controesempio alla tua congettura.
Ad esempio, $RR-{0}$ in $RR^n$, con $n>1$ ha misura nulla e non è un connesso. Sbaglio?
No, Zkeggia, non sbagli, ma la congettura di fransis2 nel suo secondo messaggio riguardava (se non ho capito male) il numero di componenti connesse dell'insieme di misura nulla.
Secondo lui dovevano essere al più numerabili.
Ma $RR\setminus {0}$ non confuta la sua congettura perchè ovviamente ha solo due componenti connesse.
Secondo lui dovevano essere al più numerabili.
Ma $RR\setminus {0}$ non confuta la sua congettura perchè ovviamente ha solo due componenti connesse.
Aaah ok ora mi torna. Grazie!
"cirasa":
No, Zkeggia, non sbagli, ma la congettura di fransis2 nel suo secondo messaggio riguardava (se non ho capito male) il numero di componenti connesse dell'insieme di misura nulla.
no avevo chiesto una cosa diversa e cioè: presa una SINGOLA componente connessa di un insieme di misura nulla è vero che essa è unione al più numerabile di varietà topologiche di dimensione $n-1$? per esempio cantor in $R$ in questo caso non è un controesempio perchè le componenti connesse di cantor sono dei punti singoli che sono (oppure consideriamoli) unione di addirittura una sola varietà topologica di dimensione 0 che è il punto stesso. E' chiaro che però potrei prendere in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] infiniti ma numerabili piani e rette passanti per un punto e l'unione di tutto ciò è un insieme di misura di cui l'unica componente connessa non la posso vedere come una singola varietà topologica di dimensione al + 2 ma come unione numerabile di esse...
Non mi è chiaro perchè Zkeggia abbia scritto che $RR-{0}$ non sia connesso, qualcuno me lo può spiegare?
"tinam73":
Non mi è chiaro perchè Zkeggia abbia scritto che $RR-{0}$ non sia connesso, qualcuno me lo può spiegare?
Hai $\RR-{0} = (-infty,0) \cup (0,+infty)$, con $(-infty,0)$ e $(0,+infty)$ aperti non vuoti che non si intersecano.
"fransis2":
no avevo chiesto una cosa diversa e cioè: presa una SINGOLA componente connessa di un insieme di misura nulla è vero che essa è unione al più numerabile di varietà topologiche di dimensione $n-1$?
Allora il controesempio può essere il seguente:
Sia [tex]C[/tex] l'insieme di Cantor e sia [tex]I=[0,1][/tex].
Consideriamo l'insieme [tex]S=(\mathbb{R}\times C)\cup(\{0\}\times I)[/tex] sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
Praticamente si tratta di tante rette orizzontali, ognuna delle quali ha ordinata pari ad un numero dell'insieme di Cantor. Tutte queste rette sono unite da un segmento verticale.
Ora correggimi se sbaglio, [tex]S[/tex] è connesso (in quanto connesso per archi) e di misura nulla. Purtroppo però è unione più che numerabile di rette (ci sono tante rette quanti sono gli elementi dell'insieme di Cantor).
Mi sembra che ora la tua congettura sia confutata.
@cirasa: Mi pare che funzioni. Complimenti, bella pensata. Io ieri ci ho pensato un po' ma non ho concluso nulla.
@"cirasa": Ho letto ora l'intero post e mi aggrego anche io a "dissonance" nel farti i complimenti, ottima pensata!
Grazie ragazzi!
Sono contento che vi sia piaciuta la mia idea
Sono contento che vi sia piaciuta la mia idea
giustissimo! e d'altronde non si può neanche cercare di fare congetture del tipo che la proprietà che chiedevo io è vera per quasi ogni punto dove quel quasi bisogna intenderlo in un qualche modo che non so bene neanch'io, perchè si potrebbe prendere
[tex](\mathbb{R}\times C)\cup(C\times \mathbb{R})[/tex].
[tex](\mathbb{R}\times C)\cup(C\times \mathbb{R})[/tex].
@cirasa: A me era venuta in mente pressoché la stessa idea, ma con i segmenti al posto delle rette ed una circonferenza al posto del segmento: insomma, avevo pensato di costruire una specie di circonferenza con tanti "peli" che uscivano lungo i raggi in corrispondenza di un insieme di Cantor.
Considerata la circonferenza unitaria [tex]$\Gamma$[/tex] e detto [tex]$T$[/tex] il sottoinsieme di [tex]$\Gamma$[/tex] che è immagine dell'insieme ternario di Cantor [tex]$C\subseteq [0,1[$[/tex] mediante la parametrizzazione [tex]$[0,1[ \ni t\mapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t) \in \Gamma$[/tex], sia [tex]$s_x$[/tex] il segmento unitario che giace sulla semiretta uscente da [tex]$x\in T$[/tex] diretta nello stesso verso della normale esterna a [tex]$\Gamma$[/tex] in [tex]$x$[/tex].
Posto:
[tex]$E:=\Gamma \cup \left( \bigcup_{x\in T} s_x\right)$[/tex]
è connesso (perchè connesso per archi) e, se non sbaglio, ha misura nulla.
Considerata la circonferenza unitaria [tex]$\Gamma$[/tex] e detto [tex]$T$[/tex] il sottoinsieme di [tex]$\Gamma$[/tex] che è immagine dell'insieme ternario di Cantor [tex]$C\subseteq [0,1[$[/tex] mediante la parametrizzazione [tex]$[0,1[ \ni t\mapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t) \in \Gamma$[/tex], sia [tex]$s_x$[/tex] il segmento unitario che giace sulla semiretta uscente da [tex]$x\in T$[/tex] diretta nello stesso verso della normale esterna a [tex]$\Gamma$[/tex] in [tex]$x$[/tex].
Posto:
[tex]$E:=\Gamma \cup \left( \bigcup_{x\in T} s_x\right)$[/tex]
è connesso (perchè connesso per archi) e, se non sbaglio, ha misura nulla.
OT
A volte il cervello fa delle strane associazioni di idee. In questo caso non mi chiedete come, ma il mio cervello stava cercando qualche spazio strano di $RR^n$ con una particolare proprietà sulla connessione. E in chissà quale angolo della memoria ha scovato il famoso "spazio topologico della pulce e del pettine" (tipico esempio di uno spazio topologico connesso ma non localmente connesso).
Poi cercando qualcosa di analogo con insiemi non misurabili, mi è venuto in mente lo spazio di misura nulla che ho presentato prima.
@gugo: E già, anche il tuo insieme è un buon controesempio. E a proposito di associazioni strane di idee, il tuo esempio mi fa venire in mente un teorema che non c'entra niente con l'analisi nè con il problema in questione. Mi fa venire in mente un bel problema di geometria che parla di....palle pelose! E non è una volgarità!
/OT
A volte il cervello fa delle strane associazioni di idee. In questo caso non mi chiedete come, ma il mio cervello stava cercando qualche spazio strano di $RR^n$ con una particolare proprietà sulla connessione. E in chissà quale angolo della memoria ha scovato il famoso "spazio topologico della pulce e del pettine" (tipico esempio di uno spazio topologico connesso ma non localmente connesso).
Poi cercando qualcosa di analogo con insiemi non misurabili, mi è venuto in mente lo spazio di misura nulla che ho presentato prima.
@gugo: E già, anche il tuo insieme è un buon controesempio. E a proposito di associazioni strane di idee, il tuo esempio mi fa venire in mente un teorema che non c'entra niente con l'analisi nè con il problema in questione. Mi fa venire in mente un bel problema di geometria che parla di....palle pelose! E non è una volgarità!
/OT
@cirasa: Anche se l'ispirazione viene da altro, non ti nascondo che il teorema che citi mi era venuto in mente subito.
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