Insiemi di livello e sezioni trasversali
Buiongiorno a tutti,
ho alcuni dubbi sullo studio degli insiemi di livello per funzioni a più variabili e le sezioni trasversali.
Servono entrambi per capire il comportamento della funzione f (anche quando il grafico non è intuibile perché non in tre dimensioni) ma se non ho capito male sono due modi diversi per studiarla.
Per semplicità considero il caso di funzione a valori reali nelle due incognite x e y.
Per gli insiemi di livello, devo porre
$ f(x,y)=c $
e valutare quali c sono ammessi. In questo modo determino l'immagine di f, giusto? Inoltre so che gli insiemi di livello sono sempre chiusi come conseguenza del teorema di permanenza del segno; però, per valutare se sono limitati o illimitati, devo vedere caso per caso e nel caso disegnare il grafico delle linee di livello se possibile?
Ad esempio,
1) $ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2) $ ha linee di livello limitate (sono circonferenze)
2) $ f(x,y)=xy $ ha linee di livello illimitate, perché sono o gli assi o delle iperboli.
Il ragionamento è corretto? Inoltre è possibile che, data una funzione, alcuni insiemi di livello siano limitati ed altri illimitati? Come posso riconoscerlo?
Riguardo invece alle sezioni trasversali, dovrei porre come costante x o y la funzione diventa da due ad una sola variabile; se pongo x=0 o y=0 in particolare considero la sezione traversale con l'asse y o con l'asse x. Nell'esempio 1 prima mi permettono, ad esempio di definire il grafico della funzione come un cono. Concettualmente sono però una cosa del tutto diversa dagli insiemi di livello, vero? Qui seziono il grafico della funzione con degli assi, per gli insiemi di livello invece con dei piani (nel caso di funzioni a due variabili ovviamente, altrimenti si passa ali iperpiani)?
Grazie per l'attenzione, immagino che siano dubbi banali ma preferisco risolverli prima che possano portare a conseguenza poco piacevoli
ho alcuni dubbi sullo studio degli insiemi di livello per funzioni a più variabili e le sezioni trasversali.
Servono entrambi per capire il comportamento della funzione f (anche quando il grafico non è intuibile perché non in tre dimensioni) ma se non ho capito male sono due modi diversi per studiarla.
Per semplicità considero il caso di funzione a valori reali nelle due incognite x e y.
Per gli insiemi di livello, devo porre
$ f(x,y)=c $
e valutare quali c sono ammessi. In questo modo determino l'immagine di f, giusto? Inoltre so che gli insiemi di livello sono sempre chiusi come conseguenza del teorema di permanenza del segno; però, per valutare se sono limitati o illimitati, devo vedere caso per caso e nel caso disegnare il grafico delle linee di livello se possibile?
Ad esempio,
1) $ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2) $ ha linee di livello limitate (sono circonferenze)
2) $ f(x,y)=xy $ ha linee di livello illimitate, perché sono o gli assi o delle iperboli.
Il ragionamento è corretto? Inoltre è possibile che, data una funzione, alcuni insiemi di livello siano limitati ed altri illimitati? Come posso riconoscerlo?
Riguardo invece alle sezioni trasversali, dovrei porre come costante x o y la funzione diventa da due ad una sola variabile; se pongo x=0 o y=0 in particolare considero la sezione traversale con l'asse y o con l'asse x. Nell'esempio 1 prima mi permettono, ad esempio di definire il grafico della funzione come un cono. Concettualmente sono però una cosa del tutto diversa dagli insiemi di livello, vero? Qui seziono il grafico della funzione con degli assi, per gli insiemi di livello invece con dei piani (nel caso di funzioni a due variabili ovviamente, altrimenti si passa ali iperpiani)?
Grazie per l'attenzione, immagino che siano dubbi banali ma preferisco risolverli prima che possano portare a conseguenza poco piacevoli
Risposte
"Dany1899":
però, per valutare se sono limitati o illimitati, devo vedere caso per caso e nel caso disegnare il grafico delle linee di livello se possibile?
E si, in generale si. Spesso le funzioni degli esercizi sono polinomi di secondo grado o sono riconducibli a polinomi (radici quadrate di polinomi e cose del genere), nel qual caso ti puoi aiutare con la geometria: ricordati la classificazione delle coniche (se la conosci).
Appunto quello che dicevo sopra.
Ad esempio,
1) $ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2) $ ha linee di livello limitate (sono circonferenze)
2) $ f(x,y)=xy $ ha linee di livello illimitate, perché sono o gli assi o delle iperboli.
Si che è possibile, tutto è possibile, in generale. Già con funzioni di una variabile succede. Prendi ad esempio
Il ragionamento è corretto? Inoltre è possibile che, data una funzione, alcuni insiemi di livello siano limitati ed altri illimitati? Come posso riconoscerlo?
\[
f(x)=
\begin{cases}
x, & x\ge 0 \\
0, & x<0
\end{cases}
\]
In questo caso gli insiemi di livello per $c>0$ sono punti, per $c=0$ sono l'intera semiretta negativa e per $c<0$ sono ridotti all'insieme vuoto.
Riguardo invece alle sezioni trasversali, dovrei porre come costante x o y la funzione diventa da due ad una sola variabile; se pongo x=0 o y=0 in particolare considero la sezione traversale con l'asse y o con l'asse x. Nell'esempio 1 prima mi permettono, ad esempio di definire il grafico della funzione come un cono. Concettualmente sono però una cosa del tutto diversa dagli insiemi di livello, vero? Qui seziono il grafico della funzione con degli assi, per gli insiemi di livello invece con dei piani (nel caso di funzioni a due variabili ovviamente, altrimenti si passa ali iperpiani)?
Si, hai detto tutto tu. Forza, non essere insicuro. Ti lascio un link ad un sito di geometria dove si parla un sacco di sezioni trasversali (cross sections). Divertiti!
Grazie mille per le risposte, purtroppo stiamo seguendo il corso di analisi II mentre quello di geometria è in itinere (ho dovuto imparare a risolvere sistemi di equazioni differenziali senza avere visto prima autovalori e autovettori, fatti poi un mese dopo a geometria), quindi a volte mi vengono questi dubbi un po' stupidi e prima di un esonero preferisco sempre togliermeli, anche perché di geometria abbiamo appena finito algebra lineare e non è ancora alla geometria analitica.
Ora mi guardo con interesse quel link, grazie ancora!
Ora mi guardo con interesse quel link, grazie ancora!
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