Insiemi di livello

[geo696]

ciao a tutti....ma ...partendo dalla definizione di insieme di livello cioè
$ Ek={(x,y)in D : f(x,y)=k } $
qualcuno mi sa spiegare come tracciare l'insieme di livello della funzione $z=sqrt(x*y)$ ?
io ho pensato...dato che è un cono ellittico...parto dal determinare il dominio quindi $x*y>0$
ma poi??
grazie anticipatamente

[Luca.Lussardi]

Sicuramente una curva di livello deve stare dentro al dominio, che però è dato, in questo caso, dalla condizione $xy \ge 0$. Basta poi usare la definizione di $E_k$: risulta $xy=k^2$ da cui...

[geo696]

ok elevo al quadrato per eliminare la radice....quindi $ x*y>k^2 $ ora se prendo $k=1$ ottengo $ x*y>1 $ da cui $ x>1/y $ ??

[Luca.Lussardi]

Perchè $>$?

[geo696]

hai ragione...è $ = $
quindi in definitiva $x=1/y $ ? e quindi sul piano cartesiano l'insieme della mia funzione sarà definito sul primo e terzo quadrante e saranno dei rami di iperbole...se non sbaglio...giusto ?

[antani2]

sì, inclusa l'iperbole degenere costituita dall'unione dei due assi cartesiani.

Comunque direi che è solo la metà positiva del cono ellittico...la quadrica completa è $z^2-xy=0$

[geo696]

gentilissimo,grazie !