Insiemi di funzioni di due variabili
Ciao a tutti!
Sono in preparazione del test di Analisi 2 e ho difficoltà con degli esercizi presi direttamente dai temi esame degli anni precedenti pubblicati dal nostro docente. Passo direttamente all'esposizione:
Sia \(\displaystyle Q =\{(x, y)\in\mathbb{R}^2: y\geqslant0 , x^2+y^2 \leqslant 2 , |x|\leqslant y^2\} \)
Allora
\( \int\int_Q((6y+3x+\cos(6y)\arctan(8x^5)+6y\sinh(3x))dxdy \) =
A 3arccos(6) B 7
C sen(6)+3cosh(6) D Nessuna delle altre affermazioni `e esatta
Ovviamente l'integrale si semplifica molto in quanto l'insieme è simmetrico rispetto ad y; pertanto tutte le funzioni presenti che sono dispari in x possono essere rimosse in quanto si annullano su un insieme di questo tipo.
Tuttavia ho problemi con la definizione dell'insieme. Lo riesco a disegnare ma non mi tornano gli estremi di integrazione corretti, e forse c'è da fare qualche sostituzione. Ho provato con le coordinate polari, ma si avrebbe che per definire \(\displaystyle \theta \) bisognerebbe risolvere \(\displaystyle |\rho\cos\theta|\leqslant\rho^2\sin^2\theta \).
Spero che riusciate ad aiutarmi perchè sono nel panico su esercizi di questo tipo.
Grazie.
Sono in preparazione del test di Analisi 2 e ho difficoltà con degli esercizi presi direttamente dai temi esame degli anni precedenti pubblicati dal nostro docente. Passo direttamente all'esposizione:
Sia \(\displaystyle Q =\{(x, y)\in\mathbb{R}^2: y\geqslant0 , x^2+y^2 \leqslant 2 , |x|\leqslant y^2\} \)
Allora
\( \int\int_Q((6y+3x+\cos(6y)\arctan(8x^5)+6y\sinh(3x))dxdy \) =
A 3arccos(6) B 7
C sen(6)+3cosh(6) D Nessuna delle altre affermazioni `e esatta
Ovviamente l'integrale si semplifica molto in quanto l'insieme è simmetrico rispetto ad y; pertanto tutte le funzioni presenti che sono dispari in x possono essere rimosse in quanto si annullano su un insieme di questo tipo.
Tuttavia ho problemi con la definizione dell'insieme. Lo riesco a disegnare ma non mi tornano gli estremi di integrazione corretti, e forse c'è da fare qualche sostituzione. Ho provato con le coordinate polari, ma si avrebbe che per definire \(\displaystyle \theta \) bisognerebbe risolvere \(\displaystyle |\rho\cos\theta|\leqslant\rho^2\sin^2\theta \).
Spero che riusciate ad aiutarmi perchè sono nel panico su esercizi di questo tipo.
Grazie.
Risposte
A me, sinceramente, quell'insieme non pare proprio simmetrico rispetto a nessun asse. La condizione $|x|\le y^2$ equivale a scrivere
[tex]$\left\{\begin{array}{lcl}
x\le y^2 & & x\ge 0\\ & & \\ -x\le y^2 & & x<0
\end{array}\right.$[/tex]
e il grafico che ne viene fuori è una curva simmetrica rispetto all'origine, per cui la richiesta che sia $y\ge 0$ fa saltare qualsiasi tipo di simmetria. D'altra parte, per calcolare questo integrale, eviterei anche di fare un cambiamento di coordinate che va solo a complicarti la vita. Una domanda: hai disegnato $Q$?
[tex]$\left\{\begin{array}{lcl}
x\le y^2 & & x\ge 0\\ & & \\ -x\le y^2 & & x<0
\end{array}\right.$[/tex]
e il grafico che ne viene fuori è una curva simmetrica rispetto all'origine, per cui la richiesta che sia $y\ge 0$ fa saltare qualsiasi tipo di simmetria. D'altra parte, per calcolare questo integrale, eviterei anche di fare un cambiamento di coordinate che va solo a complicarti la vita. Una domanda: hai disegnato $Q$?
Ciao, si ho disegnato l'insieme \(\displaystyle Q \), e infatti non capisco perchè dici che non sia simmetrico: la prima condizione \(\displaystyle y\leqslant 0 \) isola il semipiano delle \(\displaystyle y \) positive, e fin qui resta tutto simmetrizzabile rispetto all'asse \(\displaystyle y \); la seconda condizione ci da un cerchio delimitato dalla circonferenza \(\displaystyle x^2+y^2=2 \). Il cerchio è simmetrico rispetto ad entrambi gli assi, quindi anche escludendo la parte delle \(\displaystyle y \) negative (ovvero facendo l'intersezione degli insiemi derivanti dalle prime due condizioni) rimane simmetrico rispetto all'asse \(\displaystyle y \). La terza condizione in effetti va suddivisa come hai fatto tu (scusa ma non sono capace di fare la graffa grossa come la tua), ma comunque resta \(\displaystyle -y^2 \leqslant x \leqslant y^2 \), che sono due parabole perfettamente simmetriche rispetto all'asse y. Pertanto se prendi 3 insiemi simmetrici rispetto allo stesso asse e ne fai l'intersezione ne risulta un nuovo insieme ancora simmetrico rispetto a quell'asse.
Ah scusa, è che leggevo $|y|\le x^2$ invece che $|x|\le y^2$.
Ritornando invece ai problemi di integrazione: secondo me conviene non passare a coordinate polari: considerando che la porzione del dominio del primo quadrante può essere rappresentata come $D_1\cup D_2$ dove, se indichiamo con $A(1,1)$ l'intersezione tra la circonferenza e la parabola nel primo quadrante,
$D_1=\{0\le x\le 1,\ 0\le y\le \sqrt{x}\}$
$D_2=\{1\le x\le \sqrt{2},\ 0\le y\le\sqrt{2-x^2}\}$
ti conviene lavorare sui due integrali in questo modo.
Ritornando invece ai problemi di integrazione: secondo me conviene non passare a coordinate polari: considerando che la porzione del dominio del primo quadrante può essere rappresentata come $D_1\cup D_2$ dove, se indichiamo con $A(1,1)$ l'intersezione tra la circonferenza e la parabola nel primo quadrante,
$D_1=\{0\le x\le 1,\ 0\le y\le \sqrt{x}\}$
$D_2=\{1\le x\le \sqrt{2},\ 0\le y\le\sqrt{2-x^2}\}$
ti conviene lavorare sui due integrali in questo modo.
Si esatto. L'intersezione fra le due parabole e la circonferenza considerate nella parte positiva delle \(\displaystyle y \) sono i due punti \(\displaystyle ( \pm 1; 1) \), quindi mi basta considerare una sola parte e poi moltiplicare per due.
Io direi che ho \(\displaystyle D_1 = \{ 0 \leqslant x \leqslant 1; \sqrt {x} \leqslant y \leqslant \sqrt{2-x} \} \)
Da cui poi ricavo la metà di destra, e per il risultato finale mi basta moltiplicare per due
(in quanto \(\displaystyle D_2 \) vale quanto \(\displaystyle D_1 \) ).
Grazie.
Io direi che ho \(\displaystyle D_1 = \{ 0 \leqslant x \leqslant 1; \sqrt {x} \leqslant y \leqslant \sqrt{2-x} \} \)
Da cui poi ricavo la metà di destra, e per il risultato finale mi basta moltiplicare per due
(in quanto \(\displaystyle D_2 \) vale quanto \(\displaystyle D_1 \) ).Grazie.
No, attento, tu parli dei due domini che io ho scritto come due cose separate: io invece intendo con $D_1\cup D_2$ la sola porzione nel primo quadrante dove devi integrare. E la cosa che hai scritto tu non mi sembra funzioni, riguarda il grafico con attenzione.
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