Insiemi di esistenza e composizione di funzione

[alfredo14]

Chiedo solo conferma di quanto più avanti riportato (anche nella forma scritturale). Abbiate pazienza, ma dopo quasi trent'anni la ruggine è tanta ...

Dunque il problema recita in questo modo:

Dopo aver trovato l'insieme di definizione delle funzioni:
$g(x)=log(1-x)$
$f(x)=4x/(x^2+3)$
trovare per quali valori di x è definita la composizione $gof$ e calcolarne l'espressione.

Questa la mia proposta di soluzione.

L'insieme di definizione di g(x) impone che l'argomento del logaritmo sia strettamente maggiore di 0. Quindi:
$1-x>0$
che conduce a:
$I=(-oo,1)$.

f(x), invece, è definita ovunque in quanto il denominatore, che potrebbe portare ad f(x) valori privi di significato, è in questo caso sempre positivo.

Vediamo ora la composizione (o funzione di funzione come la chiamavo io all'epoca!).
$g[f(x)]=log(1-4x/(x^2-3))$

Anche qui occorre imporre che l'argomento del logaritmo sia strettamente maggiore di 0.
Sviluppando si ottiene:
$x^2-4x+3>0$

Abbiamo:
$Delta>0$
radici: x=1 e x=3
e concavità della parabola rivolta verso l'alto. La disequazione è pertanto soddisfatta per valori esterni all'intervallo (1,3).

L'insieme di definizione è quindi:
$I=(-oo,1)U(3,+oo)$.

(oppure, formalmente, è preferibile la scrittura: $I=(x<1)U(x>3)$ ?).

Grazie per la pazienza.

[gugo82]

Tutto OK!
L'unico errore è di trascrizione (hai messo un $-$ al posto di un $+$ nel denominatore della frazione che figura come argomento della tua funzione di funzione) però i calcoli sono corretti e l'esposizione è chiara.

Volendo puoi evitare il calcolo del discriminante $Delta$ poiché trovi con semplici passaggi: $x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-1=(x-2)^2-1=(x-3)*(x-1)$.

[alfredo14]

Grazie, gugo82, per il tempo dedicato e ...
... per la dritta sulla ricerca delle radici.