Insiemi di convergenza ed altro sulla serie ..
Salve, apro questo post staccandolo dal mio precedente. Volevo sapere cosa si intende per insieme di convergenza di una serie, nello specifico ho:
$ \sum_{k=0}^{+\infty} (2k+1)/(3^k) x^(2k) $
di questa serie si determini:
1. L'insieme di convergenza
2. Una primitiva $ F $ di $ f $, e quindi, $ f $.
Ovviamente se possibile vorrei una spiegazione non tanto sul risultato, ma sull'approccio da utilizzare per risolvere queste serie, dato che pur avendo nozioni su raggi di convergenza, serie armoniche & co. trovo ancora un po' difficile districarmi in questi esercizi.
Grazie a tutti
$ \sum_{k=0}^{+\infty} (2k+1)/(3^k) x^(2k) $
di questa serie si determini:
1. L'insieme di convergenza
2. Una primitiva $ F $ di $ f $, e quindi, $ f $.
Ovviamente se possibile vorrei una spiegazione non tanto sul risultato, ma sull'approccio da utilizzare per risolvere queste serie, dato che pur avendo nozioni su raggi di convergenza, serie armoniche & co. trovo ancora un po' difficile districarmi in questi esercizi.
Grazie a tutti
Risposte
Sono sicuro che le definizioni si trovano sui libri, più in fretta che sul forum!
Ciao Ov3rlord,
Visto che hai fatto la tua parte, ora che i bimbi sono a letto come ti ho promesso farò la mia...
1. Insieme di convergenza: è la cosa più semplice. Applicando il criterio del rapporto alla serie in questione, dovresti trovare facilmente che essa converge per $|x|^2 < 3 \implies |x| < \sqrt{3}$.
2. Qui la faccenda è un po' più delicata, ma si fa...
Partiamo da quello che hai:
$f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k+1)x^{2k}}{3^k}$
Integrando, si ha:
$F(x) = \int_{0}^{x} f(x) dx = \int_{0}^{x} \sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k+1)x^{2k}}{3^k} dx$
Ora, siccome la serie che hai proposto è una serie di potenze, per essa valgono tutti i teoremi che valgono per le serie di potenze; in particolare si può portare l'integrale dentro la sommatoria, ottenendo così quanto segue:
$F(x) = \int_{0}^{x} f(x) dx = \sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k+1)}{3^k} \int_{0}^{x} x^{2k} dx = \sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k+1)}{3^k} frac{x^{2k + 1}}{(2k + 1)} = \sum_{k=0}^{+\infty} frac{x^{2k + 1}}{3^k} =$
$ = x \sum_{k=0}^{+\infty} (frac{x^{2}}{3})^k$
L'ultima serie scritta non è altro che una serie geometrica di ragione $frac{x^2}{3}$, che come saprai converge a $frac{1}{1 - x^2/3}$ se $|frac{x^2}{3}| < 1$, cioè se $|x| < sqrt{3}$ (cfr. col punto 1. già trattato...), per cui in definitiva si ha:
$F(x) = \int_{0}^{x} f(x) dx = x \sum_{k=0}^{+\infty} (frac{x^{2}}{3})^k = x frac{1}{1 - frac{x^2}{3}} = frac{3x}{3 - x^2} $
Ora che disponi di una primitiva $F(x)$ di $f(x)$, derivandola puoi trovare facilmente la richiesta $f(x)$.
Visto che hai fatto la tua parte, ora che i bimbi sono a letto come ti ho promesso farò la mia...
1. Insieme di convergenza: è la cosa più semplice. Applicando il criterio del rapporto alla serie in questione, dovresti trovare facilmente che essa converge per $|x|^2 < 3 \implies |x| < \sqrt{3}$.
2. Qui la faccenda è un po' più delicata, ma si fa...
Partiamo da quello che hai:
$f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k+1)x^{2k}}{3^k}$
Integrando, si ha:
$F(x) = \int_{0}^{x} f(x) dx = \int_{0}^{x} \sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k+1)x^{2k}}{3^k} dx$
Ora, siccome la serie che hai proposto è una serie di potenze, per essa valgono tutti i teoremi che valgono per le serie di potenze; in particolare si può portare l'integrale dentro la sommatoria, ottenendo così quanto segue:
$F(x) = \int_{0}^{x} f(x) dx = \sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k+1)}{3^k} \int_{0}^{x} x^{2k} dx = \sum_{k=0}^{+\infty} frac{(2k+1)}{3^k} frac{x^{2k + 1}}{(2k + 1)} = \sum_{k=0}^{+\infty} frac{x^{2k + 1}}{3^k} =$
$ = x \sum_{k=0}^{+\infty} (frac{x^{2}}{3})^k$
L'ultima serie scritta non è altro che una serie geometrica di ragione $frac{x^2}{3}$, che come saprai converge a $frac{1}{1 - x^2/3}$ se $|frac{x^2}{3}| < 1$, cioè se $|x| < sqrt{3}$ (cfr. col punto 1. già trattato...), per cui in definitiva si ha:
$F(x) = \int_{0}^{x} f(x) dx = x \sum_{k=0}^{+\infty} (frac{x^{2}}{3})^k = x frac{1}{1 - frac{x^2}{3}} = frac{3x}{3 - x^2} $
Ora che disponi di una primitiva $F(x)$ di $f(x)$, derivandola puoi trovare facilmente la richiesta $f(x)$.
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