Insiemi Convessi e Norme

[bosmer-votailprof]

Buonasera a tutti,

vorrei porre un semplice quesito:

Sia data una norma generica su $\RR^n$ e sia $B={x\in \RR^n : ||x|| Quello che mi chiedo è se $B$ sia un insieme convesso, indipendentemente dalla norma scelta.

Io pensavo si riuscisse a dimostrare semplicemente con le proprietà della metrica o della norma, però non ci sono riuscito... forse la dimostrazione è banale e mi è semplicemente sfuggita la disequazione che lo dimostra. Oppure semplicemente questo "teorema" non è vero, però anche in quel caso non sono riuscito a trovare una norma che faccia da controesempio.

[Sk_Anonymous]

Mi pare sia una semplice applicazione della disuguaglianza triangolare: dati due punti \(x,y \in B\), è vero che \( (1-t)x + t y \in B\), per \(t \in (0,1)\)? Basta stimare la norma di \( (1-t)x + t y \): \[\|(1-t) x + t y \| \le (1-t) \|x \| + t \|y \| \le (1-t) k + t k =k. \]Ho usato congiuntamente la disuguaglianza triangolare e l'omogeneità della norma.

[bosmer-votailprof]

Scusa in effetti sono un fesso, ce l'avevo sotto gli occhi e non l'ho visto!
Non sono riuscito a vederla perché continuavo a scrivere i punti del segmento come $x+t(y-x)$ e mi sono ostinato ad applicare le proprietà della norma direttamente a questa espressione senza provare prima a riscriverla nell'altro modo.
Infatti così facendo arrivavo al massimo a dire che il punto del segmento è minore di $k(2t+1)$ .

Ripeto sono Fesso! grazie ancora