Insiemi convessi, dimostrazione e verifica

[Utente32]

Data la definizione di insieme convesso non riesco ad applicarla per dimostrare che un quadrato è un insieme convesso. Inoltre come poter dimostrare che un insieme unione di due insiemi convessi non è convesso? Oltre a trovare un controesempio, avendo presente la figura, esiste un metodo più rigoroso?

Un insieme si dice convesso se dati due punti X(x,y) e (x',y') il punto (tx+(1-t)x',ty+(1-t)y') appartiene all' insieme stesso.

Dimostrare che il semipiano π = x + y − 1 ≤ 0 verifica la definizione di insieme convesso.
b) Dimostrare che il quadrato A di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) verifica la definizione di insieme convesso.
c) L'insieme π∪A è convesso? Giustificare opportunamente la risposta.

[otta96]

Nel caso del quadrato: prendendo $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\inA$ generici, la definizione di convessità richiede che $AAt\in[0,1]$ deve succedere che $(tx_1+(1-t)x_2,ty_1+(1-t)y_2)\inA$, ma cosa vuol dire che un punto sta in $A$? Che entrambe le sue coordinate soddisfino l'equazione $0<=x<=1$, dunque le ipotesi sono $0<=x_1,x_2,t<=1$ e la tesi è $0<=tx_1+(1-t)x_2<=1$.
$0<=tx_1+(1-t)x_2$ è banale perché somma di due termini che sono entrambi prodotto di numeri non negativi, per dimostrare l'altra è sufficiente dimostrare $tx_1+(1-t)x_2-1<=0$, ma se io scrivo $1=t+(1-t)$, raccogliendo ho che $tx_1+(1-t)x_2-1=t(x_1-1)+(1-t)(x_2-1)$, stavolta c'è una somma di due termini entrambi prodotto di un numero non negativo e uno non positivo, quindi la disuguaglianza è dimostrata. Ovviamente va dimostrata anche per le $y$, ma è chiaro che è la stessa cosa.
Per le altre cose prova a farle da solo, ora che hai visto il procedimento in un caso, se ti dovessi bloccare ti aiutiamo, ma non tornare senza nemmeno un tentativo
P.S. Trovare un controesempio a qualcosa È un modo rigoroso di dimostrare che in generale non è vero qualcosa, ovviamente va dimostrato che questo è veramente un controesempio.