Insiemi contigui
Buongiorno a tutti, apro questa discussione per una breve riflessione sulle definizioni di insiemi contigui in $RR$.
Un po mi vergogno a dover ammettere che sto dando analisi due ed ho ancora dubbi su queste cose, ma mentre cercavo di capire come viene definito l'integrale di Riemann dalla contiguità delle somme inferiori e superiori mi sono accorto che senza chiarezza assoluta su questo punto non ne sarei mai venuto fuori.
Dopo qualche giorno di ricerche su internet e sul forum ho trovato ben TRE DEFINIZIONI di insiemi contigui
Intanto va premessa la definizione di elemento separatore:
Siano $A,B sub RR$. Se $AA a \inA " e " AA b \in B " risulta " a<=b, " allora esiste " c \in RR " tale che " AA a \inA, AA b \in B a<=c<=b$. $c$ è detto elemento separatore dei due insiemi.
Ed ora le definizioni di insiemi contigui:
1) Siano $A,B sub RR$. $A$ e $B$ si dicono contigui se e solo se $"hanno un solo elemento separatore"$.
2) Siano $A,B sub RR$. $A$ e $B$ si dicono contigui se e solo se $"sup"(A)="inf"(B)$ oppure se $"sup"(B)="inf"(A)$.
3) Siano $A,B sub RR$. $A$ e $B$ si dicono contigui se e solo se $AA \epsilon \in RR, \epsilon>0, EE a \inA " ed " EE b \in B "tali che" |a-b|<\epsilon$
A me sinceramente la terza sembra più un lemma di caratterizzazione che non una definizione, mentre tra le prime due non saprei quale è considerata la "definizione" e quale una semplice proprietà.
Grazie in anticipo, Lorenzo
Un po mi vergogno a dover ammettere che sto dando analisi due ed ho ancora dubbi su queste cose, ma mentre cercavo di capire come viene definito l'integrale di Riemann dalla contiguità delle somme inferiori e superiori mi sono accorto che senza chiarezza assoluta su questo punto non ne sarei mai venuto fuori.
Dopo qualche giorno di ricerche su internet e sul forum ho trovato ben TRE DEFINIZIONI di insiemi contigui
Intanto va premessa la definizione di elemento separatore:
Siano $A,B sub RR$. Se $AA a \inA " e " AA b \in B " risulta " a<=b, " allora esiste " c \in RR " tale che " AA a \inA, AA b \in B a<=c<=b$. $c$ è detto elemento separatore dei due insiemi.
Ed ora le definizioni di insiemi contigui:
1) Siano $A,B sub RR$. $A$ e $B$ si dicono contigui se e solo se $"hanno un solo elemento separatore"$.
2) Siano $A,B sub RR$. $A$ e $B$ si dicono contigui se e solo se $"sup"(A)="inf"(B)$ oppure se $"sup"(B)="inf"(A)$.
3) Siano $A,B sub RR$. $A$ e $B$ si dicono contigui se e solo se $AA \epsilon \in RR, \epsilon>0, EE a \inA " ed " EE b \in B "tali che" |a-b|<\epsilon$
A me sinceramente la terza sembra più un lemma di caratterizzazione che non una definizione, mentre tra le prime due non saprei quale è considerata la "definizione" e quale una semplice proprietà.
Grazie in anticipo, Lorenzo
Risposte
A me hanno definito gli insiemi contigui con la definizione di elemento separatore e poi con la prima definizione che hai elencato.
Definizione: due sottoinsiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] di $RR$ sono contigui quando ogni elemento di [tex]A[/tex] è minore di ogni elemento di [tex]B[/tex], e comunque fissi $epsilon>0$ esiste un elemento di [tex]A[/tex] e uno di [tex]B[/tex] tali per cui la differenza è minore.
Data la definizione, e datosi che $A$ è limitato superiormente e $B$ inferiormente, allora ammettono(altra dimostrazione), ciascuno, rispettivamente, un estremo superiore [tex]\sup A[/tex] e inferiore [tex]inf B[/tex], ora [tex]\sup A[/tex] non può in nessun caso essere maggiore di [tex]inf B[/tex] perchè altrimenti esisterebbe un elemento di [tex]A[/tex] maggiore di [tex]inf B[/tex], che non potendo essere un minorante degli elementi di [tex]B[/tex], dovrà esistere per forza un elemento di [tex]B[/tex] minore di lui, contro l'ipotesi, ergo [tex]\sup A <= \inf B[/tex], dal momento che però puoi sempre trovare, per ogni $epsilon >0$, due elementi, uno di [tex]A[/tex] e uno di [tex]B[/tex] la cui differenza è di lui minore, non può essere [tex]\sup A < \inf B[/tex], ergo sono uguali.
Hai così dimostrato che due insiemi contigui sono separati da un sol punto [tex]\sup A = \inf B[/tex] in modo che ogni elemento di lui maggiore appartiene a [tex]B[/tex], e se minore appartiene ad [tex]A[/tex].
Data la definizione, e datosi che $A$ è limitato superiormente e $B$ inferiormente, allora ammettono(altra dimostrazione), ciascuno, rispettivamente, un estremo superiore [tex]\sup A[/tex] e inferiore [tex]inf B[/tex], ora [tex]\sup A[/tex] non può in nessun caso essere maggiore di [tex]inf B[/tex] perchè altrimenti esisterebbe un elemento di [tex]A[/tex] maggiore di [tex]inf B[/tex], che non potendo essere un minorante degli elementi di [tex]B[/tex], dovrà esistere per forza un elemento di [tex]B[/tex] minore di lui, contro l'ipotesi, ergo [tex]\sup A <= \inf B[/tex], dal momento che però puoi sempre trovare, per ogni $epsilon >0$, due elementi, uno di [tex]A[/tex] e uno di [tex]B[/tex] la cui differenza è di lui minore, non può essere [tex]\sup A < \inf B[/tex], ergo sono uguali.
Hai così dimostrato che due insiemi contigui sono separati da un sol punto [tex]\sup A = \inf B[/tex] in modo che ogni elemento di lui maggiore appartiene a [tex]B[/tex], e se minore appartiene ad [tex]A[/tex].
@anonymous_ed8f11: Quelle tre proposizioni sono tutte equivalenti, ergo puoi sceglierne una qualsiasi per definire gli insiemi contigui e dedurre le rimanenti come caratterizzazioni alternative.
Quale prendere come definizione, come molte volte accade in Matematica, è questione di gusti ed opportunità.
Quale prendere come definizione, come molte volte accade in Matematica, è questione di gusti ed opportunità.
@Gugo Mi sembra che in quelle definizioni manchi qualcosa, ad esempio nella terza la dichiarazione esplicita che gli elemeni di A e di B siano i primi minori al più uguali dei secondi, la prima definizione potrebbe essere un caso limite, perchè in effetti l'elemento separatore potrebbe essere un punto isolato, e appartenere ad A, la seconda è quella che mi suona corretta. [edit] le prime due passino, ma la terza è errata.
Per la dimostrazione, ripensandoci, basta osservare che ogni elemento di A è, data la definizione, un minorante per B, e sono quindi necessariamente minori al più uguali ad [tex]\inf B[/tex], idem considerando A, si trova quindi che il segmento [tex](\sup A, \inf B)[/tex] separa i due insiemi, segmento che si riduce ad un sol punto data l'altra proprietà degli insiemi contigui.
Per la dimostrazione, ripensandoci, basta osservare che ogni elemento di A è, data la definizione, un minorante per B, e sono quindi necessariamente minori al più uguali ad [tex]\inf B[/tex], idem considerando A, si trova quindi che il segmento [tex](\sup A, \inf B)[/tex] separa i due insiemi, segmento che si riduce ad un sol punto data l'altra proprietà degli insiemi contigui.
@regim: Infatti bisognerebbe aggiungere a tutte e tre le definizioni riportate l'aggetivo separati, ossia sostituire la proposizione "Siano [tex]$A,B\subseteq \mathbb{R}$[/tex], [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] si dicono contigui..." con "Siano [tex]$A,B\subseteq \mathbb{R}$[/tex] insiemi separati. [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] si dicono contigui...".
In questo contesto insiemi separati vuol dire che o [tex]$\forall a\in A,\ \forall b\in B , a\leq b$[/tex] oppure [tex]$\forall a\in A,\ \forall b\in B , a\geq b$[/tex].
Visto che prima delle definizioni si parlava di elementi separatori, ho dato per scontato che [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] si dovessero intendere separati; ma è sempre meglio precisare.
Grazie per avermi segnalato la cosa.
In questo contesto insiemi separati vuol dire che o [tex]$\forall a\in A,\ \forall b\in B , a\leq b$[/tex] oppure [tex]$\forall a\in A,\ \forall b\in B , a\geq b$[/tex].
Visto che prima delle definizioni si parlava di elementi separatori, ho dato per scontato che [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] si dovessero intendere separati; ma è sempre meglio precisare.
Grazie per avermi segnalato la cosa.
Grazie delle risposte, oggi ero tutto il giorno in università, e non ho potuto riprendere la discussione prima.
Le definizioni avevo capito che erano equivalenti, ma aver formalizzato le dimostrazioni è comunque sempre utile per capire meglio.
Invece il fatto che i due insiemi divessero essere sparati lo avevo praticamente sempre dato "per scontato", e non avevo mai considerato l'importanza di questa affermazione
.
Purtroppo però questo non mi basta a risolvere il problema originario che avevo con gli integrali
:
Io non capivo cosa c'era da dimostrare nella proposizione: $"Una funzione "f:A \sub RR^n->RR" è integrabile secondo Riemann " <=> AA \epsilon>0 EE \delta \in \Delta : S(f,\delta)-s(f, \delta)<\epsilon$, o detto altrimenti:
$"Sia "f:A \sub RR^n->RR" , ""sup"[s(f)]="inf"[S(f)]<=> AA \epsilon>0 EE \delta \in \Delta : S(f,\delta)-s(f, \delta)<\epsilon$
Notazione: $\Delta$ è l'insieme di tutte le decomposizioni di $A$, $s(f) \in RR$ è l'insieme di tutte le possibili somme inferiori per $\delta$ che varia in $\Delta$.
Dopo quello che abbiamo detto sulle definizioni di insiemi contigui in $RR$, essendo gli insiemi delle somme inferiori e superiori due sottoinsiemi spearati di $RR$, allora questo teoremino dovrebbe essere immediato, perchè non faccio altro che dare due definizioni equivalenti di insiemi contigui, non credete?
Le definizioni avevo capito che erano equivalenti, ma aver formalizzato le dimostrazioni è comunque sempre utile per capire meglio.
Invece il fatto che i due insiemi divessero essere sparati lo avevo praticamente sempre dato "per scontato", e non avevo mai considerato l'importanza di questa affermazione
.Purtroppo però questo non mi basta a risolvere il problema originario che avevo con gli integrali
:Io non capivo cosa c'era da dimostrare nella proposizione: $"Una funzione "f:A \sub RR^n->RR" è integrabile secondo Riemann " <=> AA \epsilon>0 EE \delta \in \Delta : S(f,\delta)-s(f, \delta)<\epsilon$, o detto altrimenti:
$"Sia "f:A \sub RR^n->RR" , ""sup"[s(f)]="inf"[S(f)]<=> AA \epsilon>0 EE \delta \in \Delta : S(f,\delta)-s(f, \delta)<\epsilon$
Notazione: $\Delta$ è l'insieme di tutte le decomposizioni di $A$, $s(f) \in RR$ è l'insieme di tutte le possibili somme inferiori per $\delta$ che varia in $\Delta$.
Dopo quello che abbiamo detto sulle definizioni di insiemi contigui in $RR$, essendo gli insiemi delle somme inferiori e superiori due sottoinsiemi spearati di $RR$, allora questo teoremino dovrebbe essere immediato, perchè non faccio altro che dare due definizioni equivalenti di insiemi contigui, non credete?
"gugo82":
@regim: Infatti bisognerebbe aggiungere a tutte e tre le definizioni riportate l'aggetivo separati, ossia sostituire la proposizione "Siano [tex]$A,B\subseteq \mathbb{R}$[/tex], [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] si dicono contigui..." con "Siano [tex]$A,B\subseteq \mathbb{R}$[/tex] insiemi separati. [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] si dicono contigui...".
In questo contesto insiemi separati vuol dire che o [tex]$\forall a\in A,\ \forall b\in B , a\leq b$[/tex] oppure [tex]$\forall a\in A,\ \forall b\in B , a\geq b$[/tex].
Visto che prima delle definizioni si parlava di elementi separatori, ho dato per scontato che [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] si dovessero intendere separati; ma è sempre meglio precisare.
Grazie per avermi segnalato la cosa.
Prego
@Lorenzo Nella teoria dell'integrazione si fa ampio uso di questi concetti, l'integrabilità secondo riemann implica la contiguità degli insiemi che hai descritto.
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