Insiemi contigui

[alfiere15]

Ciao a tutti!
Ho questa proposizione:
$A$ e $B$ sono insiemi contigui $leftrightarrow forall epsilon >0 exists x in A, exists y in B : y-x < epsilon$
Nella dimostrazione della seconda implicazione, $(leftarrow)$, arriva a dimostrare che $0 <= $infB$ - $supA$< epsilon$
Poi, afferma che per la proprietà archimedea, infB$ = $supA... Non riesco a capire la conclusione...

[renat_1]

Non riesci a capire perché infB=sup A, oppure perché quest'ultima uguaglianza implichi la tesi?

[alfiere15]

Non riesco a capire come, dalla doppia disuguaglianza, si giunga a dure infB=supA...

[renat_1]

così mi sembra che funzioni

supponiamo per assurdo che:
infB-supA$=k>0$
allora
$EE \epsilon=k/2$ tale che $k>\epsilon$ assurdo!
quindi
infB-supA$=0$

[alfiere15]

Grazie mille per la risposta... una curiosità: ma nella tua conclusione, si utilizza la proprietà archimedea?
Perché la dimostrazione si conclude dicendo di far uso di tale proprietà...

[renat_1]

non ne sono sicuro, ma il tuo testo potrebbe aver ragionato così:
se infB-supA$>0$ allora sicuramente esiste un epsilon minore di tale differenza
suona abbastanza simile alla proprietà archimedea, ma non è proprio lo stesso