Insiemi connessi (spazi metrici)..dubbio dimostrazione
Ciao a tutti, oggi a lezione abbiamo affrontato negli spazi metrici gli insiemi connessi. Diciamo che mi perdo su una cosa della dimostrazione. Aiutatemi a capire per favore.
Prima richiamo delle nozioni, dove non mi è chiaro lo scrivo.
Def: se $A,B\subseteq X,$ \(\displaystyle A,B \ne \oslash \) si dice che A,B sono separati se $\bar{A}\cup B=A\cup \bar{B}= O/ $
Def: si dice che X è connesso se non esistono $A,B\ne O/ $ tale che $X=A\cup B$
Teorema: in R l'insieme E è connesso se e solo se $E=\{x\}$ oppure $E$ è un intervallo
Dimostrazione
Sia E un intervallo e supponiamo per assurdo che esistano A,B non vuoti e separati tali che $A\cup B=E$. Siano $a\in A, b\in B$ e per es. $a
IL punto p non può appartenere a B, poichè p appartiene a $\bar{A}$.
Quindi $p\in A$. Segue che $p
Ecco il punto dove mi perdo è perchè dice che è assurdo. Cosa abbiamo negato? Cioè mi sto perdendo. Tutto il resto è chiaro.
Prima richiamo delle nozioni, dove non mi è chiaro lo scrivo.
Def: se $A,B\subseteq X,$ \(\displaystyle A,B \ne \oslash \) si dice che A,B sono separati se $\bar{A}\cup B=A\cup \bar{B}= O/ $
Def: si dice che X è connesso se non esistono $A,B\ne O/ $ tale che $X=A\cup B$
Teorema: in R l'insieme E è connesso se e solo se $E=\{x\}$ oppure $E$ è un intervallo
Dimostrazione
Sia E un intervallo e supponiamo per assurdo che esistano A,B non vuoti e separati tali che $A\cup B=E$. Siano $a\in A, b\in B$ e per es. $a
IL punto p non può appartenere a B, poichè p appartiene a $\bar{A}$.
Quindi $p\in A$. Segue che $p
Ecco il punto dove mi perdo è perchè dice che è assurdo. Cosa abbiamo negato? Cioè mi sto perdendo. Tutto il resto è chiaro.
Risposte
Vorrei evidenziare che si deve avere \(\displaystyle \overline{A}\cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset \) e non con l'unione. I due insiemi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) nella definizione di connesso non possono però essere qualsiasi, devono essere insiemi aperti in \(\displaystyle X \), altrimenti la definizione è mal posta.
Mi sembra che la dimostrazione sia scritta piuttosto male a dire il vero e, scritta così, abbastanza insensata.
Partiamo quindi da un insieme \(\displaystyle E \) connesso e supponiamo che non sia un singolo punto (che è banalmente connesso). A questo punto suppongo per assurdo che non sia un intervallo, allora esiste un \(\displaystyle p\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \inf E < p < \sup E \) e \(\displaystyle p\notin E \). D'altra parte \(\displaystyle (-\infty, p)\cap E \) e \(\displaystyle (p,+\infty)\cap E \) sono due aperti in \(\displaystyle E \), separati, e tale che la loro unione è tutto \(\displaystyle E \). Ma questo è assurdo in quanto \(\displaystyle E \) è connesso.
Mi sembra che la dimostrazione sia scritta piuttosto male a dire il vero e, scritta così, abbastanza insensata.
Partiamo quindi da un insieme \(\displaystyle E \) connesso e supponiamo che non sia un singolo punto (che è banalmente connesso). A questo punto suppongo per assurdo che non sia un intervallo, allora esiste un \(\displaystyle p\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \inf E < p < \sup E \) e \(\displaystyle p\notin E \). D'altra parte \(\displaystyle (-\infty, p)\cap E \) e \(\displaystyle (p,+\infty)\cap E \) sono due aperti in \(\displaystyle E \), separati, e tale che la loro unione è tutto \(\displaystyle E \). Ma questo è assurdo in quanto \(\displaystyle E \) è connesso.
"vict85":
Vorrei evidenziare che si deve avere \(\displaystyle \overline{A}\cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset \) e non con l'unione. I due insiemi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) nella definizione di connesso non possono però essere qualsiasi, devono essere insiemi aperti in \(\displaystyle X \), altrimenti la definizione è mal posta.
Mi sembra che la dimostrazione sia scritta piuttosto male a dire il vero e, scritta così, abbastanza insensata.
Partiamo quindi da un insieme \(\displaystyle E \) connesso e supponiamo che non sia un singolo punto (che è banalmente connesso). A questo punto suppongo per assurdo che non sia un intervallo, allora esiste un \(\displaystyle p\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \inf E < p < \sup E \) e \(\displaystyle p\notin E \). D'altra parte \(\displaystyle (-\infty, p)\cap E \) e \(\displaystyle (p,+\infty)\cap E \) sono due aperti in \(\displaystyle E \), separati, e tale che la loro unione è tutto \(\displaystyle E \). Ma questo è assurdo in quanto \(\displaystyle E \) è connesso.
ah già cavolo è vero..avevo sbagliato a scrivere.. invece di scrivere l'intersezione ho scritto l'unione!.. Scusatemi.
Ah gli insiemi in $X$ non possono essere qualsiasi? Non c'è scritto sul testo che devono essere aperti!..ho riportato le definizioni così come erano sul testo!
Comunque ora tu vict85 hai fatto la seconda parte della dimostrazione, quella che hai fatto tu ora, sul mio libro di testo è riportata come "viceversa". Lo giuro!
Mi daresti tu una definizione esatta? Quello che vi è scritto sul testo l'ho riportato.
Vediamo di dare una definizione un po' formale:
Uno spazio \(\displaystyle X \) si dice connesso se vale una delle seguenti:
Uno spazio \(\displaystyle X \) si dice connesso se vale una delle seguenti:
- [*:1zih178t] \(\displaystyle X \) è unione di due aperti separati,[/*:m:1zih178t]
[*:1zih178t] Esiste in \(\displaystyle X \) un sottoinsieme proprio non vuoto che è sia aperto che chiuso[/*:m:1zih178t][/list:u:1zih178t]
Un sottospazio è connesso se lo è nella topologia indotta.
A questo punto vediamo di dimostrare che un intervallo è connesso. Sarò leggermente formale.
Sia \(\displaystyle E \) un intervallo. Supponiamo per assurdo che esistano due insiemi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \), aperti, tali che \(\displaystyle A\cup B \supseteq E \). A questo punto prendiamo due punti distinti \(\displaystyle a < b \) in \(\displaystyle E \) tali che \(\displaystyle a\in A\cap B^c \) e \(\displaystyle b\in B\cap A^c \). Siccome \(\displaystyle [a,b]\subseteq E \) allora \(\displaystyle [a,b]\subseteq A\cup B \).
Consideriamo quindi il punto \(\displaystyle p = \sup \bigl(A\cap [a,b]\bigr) \), per costruzione risulterà \(\displaystyle a\le p0 \). Eventualmente riducendo \(\displaystyle \varepsilon \) possiamo supporre che \(\displaystyle p\le p+\varepsilon/2 < b \), ma questo è assurdo in quando \(\displaystyle p = \sup \bigl(A\cap [a,b]\bigr) \). Perciò risulta \(\displaystyle p\in B \), ma allora \(\displaystyle B\cap \overline{A} \supseteq \{p\}\neq \emptyset \) e quindi l'assurdo.
"vict85":
Vediamo di dare una definizione un po' completa:
Uno spazio \(\displaystyle X \) si dice connesso se vale una delle seguenti:
[*:okhsnekj] \(\displaystyle X \) è unione di due aperti separati,[/*:m:okhsnekj]
[*:okhsnekj] Esiste in \(\displaystyle X \) un sottoinsieme proprio non vuoto che è sia aperto che chiuso[/*:m:okhsnekj][/list:u:okhsnekj]
grazie!
E questo che hai scritto tu che ora mi segno, si dimostra in un solo modo esatto? Cioè quello che hai scritto tu prima giusto?
Mi ero dimenticato di dimostrarti che un intervallo è connesso e ho rieditato sopra mentre mi rispondevi...
Sinceramente dovrei ragionare sul fatto che sia o meno necessario che i due insiemi siano aperti ma non ho mai visto supporre diversamente. Inoltre in genere si utilizza il secondo fatto più che il primo (sottospazio aperto e chiuso), anche se il primo fornisce il significato "intuitivo" di connessione come la proprietà di non poter essere spezzato in due o più pezzi.
Sinceramente dovrei ragionare sul fatto che sia o meno necessario che i due insiemi siano aperti ma non ho mai visto supporre diversamente. Inoltre in genere si utilizza il secondo fatto più che il primo (sottospazio aperto e chiuso), anche se il primo fornisce il significato "intuitivo" di connessione come la proprietà di non poter essere spezzato in due o più pezzi.
ah ok..Va bé userò tutte e 2 le dimostrazioni che hai scritto tu che è più chiaro. Uso tutte e 2 le dimostrazioni così sono a pari con il mio testo. Ma le dimostrazioni sono tue XD. 
Comunque grazie
Comunque grazie
Beh, in teoria dovresti dimostrare che le due condizioni sono equivalenti 
È un esercizio abbastanza semplice.
Dopo un occhiata del Munkres ho notato che la tua definizione va bene, nel caso degli aperti basta che siano disgiunti. Il Munkres scrive la tua definizione come un teorema. Ne riporto la dimostrazione qua sotto.
Se \(\displaystyle X \) è unione di due aperti disgiunti allora questi sono sicuramente separati perché sono anche chiusi. Viceversa, presi due insiemi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) seperati si ha che \(\displaystyle \overline{A}\cap B = \emptyset \) ma siccome \(\displaystyle X = A\cup B \) si deve avere \(\displaystyle \overline{A} = A \), cioé \(\displaystyle A \) è chiuso, ma allora \(\displaystyle B \) è aperto in quanto complementare di \(\displaystyle A \) in \(\displaystyle X \). Scambiando i ruoli si vede che i due insiemi sono sia aperti che chiusi.
Ritornando alla tue dimostrazione della connessione dell’intervallo ho che:
Presi due punti \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) nell'intervallo, l'intervallo chiuso \(\displaystyle [a,b] \) è interamente contenuto in lui. Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) insiemi separati la cui unione è l'intervallo e \(\displaystyle a\in A \) e \(\displaystyle b\in B \) tali che \(\displaystyle a Il punto \(\displaystyle p \) è evidentemente contenuto in \(\displaystyle \overline{A} \) in quanto ne è un punto di accumulazione, quindi non può appartenere a \(\displaystyle B \) che è separato da \(\displaystyle A \). Deve quindi appartenere ad \(\displaystyle A \). Siccome però, per come è definito \(\displaystyle p \), \(\displaystyle (p,b]\subseteq B \) allora \(\displaystyle [p,b]\subseteq \overline{B} \) e quindi \(\displaystyle p\in \overline{B} \). Ma allora \(\displaystyle A\cap\overline{B}\supseteq\{p\}\neq\emptyset \) e quindi l'assurdo.
Riscritto così è più chiara? Mi ero fatto un po' distrarre dalla definizione diversa
È un esercizio abbastanza semplice.Dopo un occhiata del Munkres ho notato che la tua definizione va bene, nel caso degli aperti basta che siano disgiunti. Il Munkres scrive la tua definizione come un teorema. Ne riporto la dimostrazione qua sotto.
Se \(\displaystyle X \) è unione di due aperti disgiunti allora questi sono sicuramente separati perché sono anche chiusi. Viceversa, presi due insiemi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) seperati si ha che \(\displaystyle \overline{A}\cap B = \emptyset \) ma siccome \(\displaystyle X = A\cup B \) si deve avere \(\displaystyle \overline{A} = A \), cioé \(\displaystyle A \) è chiuso, ma allora \(\displaystyle B \) è aperto in quanto complementare di \(\displaystyle A \) in \(\displaystyle X \). Scambiando i ruoli si vede che i due insiemi sono sia aperti che chiusi.
Ritornando alla tue dimostrazione della connessione dell’intervallo ho che:
Presi due punti \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) nell'intervallo, l'intervallo chiuso \(\displaystyle [a,b] \) è interamente contenuto in lui. Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) insiemi separati la cui unione è l'intervallo e \(\displaystyle a\in A \) e \(\displaystyle b\in B \) tali che \(\displaystyle a Il punto \(\displaystyle p \) è evidentemente contenuto in \(\displaystyle \overline{A} \) in quanto ne è un punto di accumulazione, quindi non può appartenere a \(\displaystyle B \) che è separato da \(\displaystyle A \). Deve quindi appartenere ad \(\displaystyle A \). Siccome però, per come è definito \(\displaystyle p \), \(\displaystyle (p,b]\subseteq B \) allora \(\displaystyle [p,b]\subseteq \overline{B} \) e quindi \(\displaystyle p\in \overline{B} \). Ma allora \(\displaystyle A\cap\overline{B}\supseteq\{p\}\neq\emptyset \) e quindi l'assurdo.
Riscritto così è più chiara? Mi ero fatto un po' distrarre dalla definizione diversa
no va bene riscritta così..andava bene però anche quella che avevi scritto prima.. cn quello che hai scritto tu e riguardando il testo e la dimostrazione della prof, ho capito meglio 
ora cmq mi segno anche questa dimostrazione!
Grazie ancora
ora cmq mi segno anche questa dimostrazione!
Grazie ancora
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