Insiemi connessi e connessi per archi, differenze?
Le mie dispense di Analisi danno le seguenti definizioni:
Un insieme si dice connesso se non esistono due aperti disgiunti U, V $sub$ $RR$^n tali che A $sub$ U $uu$ V con A $nn$ U $!=$ insieme vuoto, A $nn$ V $!=$ insieme vuoto.
Si dirà connesso per archi se per ogni a, b $in$ A esiste una curva continua g: [c, d]$\rightarrow$A tale che g(c)=a, g(d)=b.
Non riesco a capire la differenza tra le due cose. Li riconduco entrambi alla stessa idea, cioè quella di un insieme senza buchi dove l'insieme per archi sarebbe un insieme connesso parametrizzato. Ma perchè la connessione semplice non implica direttamente la connessione per archi?
Un insieme si dice connesso se non esistono due aperti disgiunti U, V $sub$ $RR$^n tali che A $sub$ U $uu$ V con A $nn$ U $!=$ insieme vuoto, A $nn$ V $!=$ insieme vuoto.
Si dirà connesso per archi se per ogni a, b $in$ A esiste una curva continua g: [c, d]$\rightarrow$A tale che g(c)=a, g(d)=b.
Non riesco a capire la differenza tra le due cose. Li riconduco entrambi alla stessa idea, cioè quella di un insieme senza buchi dove l'insieme per archi sarebbe un insieme connesso parametrizzato. Ma perchè la connessione semplice non implica direttamente la connessione per archi?
Risposte
Ciao.
Penso che questo link possa essere utile per meglio comprendere la differenza tra i due tipi di connessione.
Attenzione: la connessione semplice è un altro tipo di connessione ancora che non coincide con la connessione in senso tipico.
Saluti.
Penso che questo link possa essere utile per meglio comprendere la differenza tra i due tipi di connessione.
"racnix":
Ma perchè la connessione semplice non implica direttamente la connessione per archi?
Attenzione: la connessione semplice è un altro tipo di connessione ancora che non coincide con la connessione in senso tipico.
Saluti.
Si, quello è il classico esempio. Per gli aperti di $\mathbb R^n$ comunque effettivamente non c'e' differenza.
Buonasera,
per l'economia del forum bisogna risparmiare post nuovi quindi mi intrometto in questo.
Io sto per l'appunto cercando di dimostrare l'ultima affermazione, ma mi vengono in mente solo costruzioni arzigogolate, non è che sapreste indicarmi una qualche fonte dove posso trovare la dimostrazione?
per l'economia del forum bisogna risparmiare post nuovi quindi mi intrometto in questo.
"Luca.Lussardi":
Si, quello è il classico esempio. Per gli aperti di $\mathbb R^n$ comunque effettivamente non c'e' differenza.
Io sto per l'appunto cercando di dimostrare l'ultima affermazione, ma mi vengono in mente solo costruzioni arzigogolate, non è che sapreste indicarmi una qualche fonte dove posso trovare la dimostrazione?
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