Insiemi connessi

[boccafos]

Salve a tutti,

sono un nuovo iscritto e mi chiedevo se qualcuno può fornirmi la dimostrazione del seguente teorema:



Dato un insieme $ C sube (X,||.||) $ aperto non vuoto, allora i seguenti fatti sono equivalenti:

1) C connesso

2) C connesso per spezzate (o segmenti)

3) C connesso per archi



Grazie anticipatamente (ho esame tra due giorni e sono disperato ).

[solaàl]

Siccome "hai esame tra due giorni" eviterò di chiederti "cos'è \((X, \|\cdot \|)\)?" iniziando quel balletto che dovrebbe insegnarti a fare uso esplicito delle notazioni, e supporrò che \(X\) sia uno spazio normato, dato che usualmente si chiama \(\|\cdot\| : X \to [0,\infty)\) la sua norma.

Detto questo: 2 implica sempre 3 (i segmenti o le curve lineari a tratti sono archi particolari), e 3 implica sempre 1, e un po' del risultato ce la siamo portati a casa. Se 1 implica 2 abbiamo finito; quindi, se \(C\) connesso in questo caso implica connesso per archi lineari a tratti, abbiamo finito; ora, il trucco è che in questo caso superspeciale puoi dire che siccome \(X\) è uno spazio normato (reale o complesso, è lo stesso), e quindi le palle aperte sono stellate (questo non è vero in un generico spazio metrico, né in un generico spazio normato, ma chi si calcola gli spazi metrici su \(\mathbb Q\)??).

[boccafos]

Innanzitutto ti chiedo scusa per il discorso della notazione, cercherò di stare più attento in futuro.

In secondo luogo ti ringrazio tanto e ti pongo un ultimo quesito: come posso dimostrare che ogni palla aperta in uno spazio normato è stellata?

Grazie ancora

[gugo82]

Convessità della distanza indotta dalla norma (norma che, per inciso, è un'applicazione di $X$ in $[0,+oo[$).

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]