Insiemi completi e compatti
Ciao ragazzi, volevo sottoporvi alla distinzione tra insiemi completi e compatti.
Allora:
(1) Un insieme X è completo se ogni successione di Cauchy ammette limite in X.
(2) Dato uno spazio metrico (X, d), dato l'insieme non vuoto C sottoinsieme di X, l'insieme C è compatto se C è chiuso e limitato. Vale il viceversa se siamo nello spazio metrico (R^n, distanza euclidea).
(3) Un insieme C è compatto se ogni successione ammette almeno una sottosuccessione convergente in C.
PS: la generica successione (non sottosuccessione) può essere divergente, convergente oppure oscillante, giusto? Non abbiamo informazioni in merito...
Queste affermazioni sono corrette?
Se la (3) e il suo relativo PS sono corrette, posso affermare con tranquillità che un insieme completo comprende, al suo interno, un insieme compatto proprio perché l'insieme completo ci dice che "tutte le successioni di Cauchy ammettono limite in C" mentre l'insieme compatto ci dice che "almeno una sottosuccessione ammette limite nell'insieme compatto".
Questo mio ragionamento è corretto?
Grazie mille, spero che questo post possa essere utile a molte persone in futuro
Allora:
(1) Un insieme X è completo se ogni successione di Cauchy ammette limite in X.
(2) Dato uno spazio metrico (X, d), dato l'insieme non vuoto C sottoinsieme di X, l'insieme C è compatto se C è chiuso e limitato. Vale il viceversa se siamo nello spazio metrico (R^n, distanza euclidea).
(3) Un insieme C è compatto se ogni successione ammette almeno una sottosuccessione convergente in C.
PS: la generica successione (non sottosuccessione) può essere divergente, convergente oppure oscillante, giusto? Non abbiamo informazioni in merito...
Queste affermazioni sono corrette?
Se la (3) e il suo relativo PS sono corrette, posso affermare con tranquillità che un insieme completo comprende, al suo interno, un insieme compatto proprio perché l'insieme completo ci dice che "tutte le successioni di Cauchy ammettono limite in C" mentre l'insieme compatto ci dice che "almeno una sottosuccessione ammette limite nell'insieme compatto".
Questo mio ragionamento è corretto?
Grazie mille, spero che questo post possa essere utile a molte persone in futuro
Risposte
Dunque, mi sembra di capire che in entrambi i 3 punti ci troviamo in uno spazio metrico $(X,d)$ (se così non fosse dillo).
1) Niente da dire;
2) In realtà è il contrario. Ogni sottoinsieme $C\subseteq X$ che è compatto è anche chiuso e limitato. Il viceversa non vale sempre (in $\mathbb{R}^n$ con la distanza euclidea vale);
3) In questo caso si dice che $C$ è compatto per successioni, o sequenzialmente compatto. Negli spazi metrici si ha che la definizione di compattezza e di compattezza per successioni coincidono, negli spazi topologici in generale no.
Riguardo al PS, ti faccio notare che non ha senso parlare di successione "divergente" e di successione "oscillante" in spazi metrici generici. Lo si può fare se $C\subseteq\mathbb{R}$. Se dunque supponiamo che $C\subseteq \mathbb{R}$, allora data una successione $\{x_n\}_{n}\subseteq C$ che ammette una sottosuccessione convergente, non possiamo dire molto sulla successione di partenza, però siamo sicuri che NON DIVERGE.
La tua considerazione finale non ha senso.
L'unica cosa che puoi concludere è che se uno spazio metrico è compatto allora è anche completo.
1) Niente da dire;
2) In realtà è il contrario. Ogni sottoinsieme $C\subseteq X$ che è compatto è anche chiuso e limitato. Il viceversa non vale sempre (in $\mathbb{R}^n$ con la distanza euclidea vale);
3) In questo caso si dice che $C$ è compatto per successioni, o sequenzialmente compatto. Negli spazi metrici si ha che la definizione di compattezza e di compattezza per successioni coincidono, negli spazi topologici in generale no.
Riguardo al PS, ti faccio notare che non ha senso parlare di successione "divergente" e di successione "oscillante" in spazi metrici generici. Lo si può fare se $C\subseteq\mathbb{R}$. Se dunque supponiamo che $C\subseteq \mathbb{R}$, allora data una successione $\{x_n\}_{n}\subseteq C$ che ammette una sottosuccessione convergente, non possiamo dire molto sulla successione di partenza, però siamo sicuri che NON DIVERGE.
La tua considerazione finale non ha senso.
L'unica cosa che puoi concludere è che se uno spazio metrico è compatto allora è anche completo.
Allora:
(1): ok, ci sono
(2): errore mio! Infatti volevo dire che se C è compatto, allora è un insieme chiuso e limitato. Mi sono espresso male.
Personalmente, nei miei appunti, ho scritto questa definizione per insiemi compatti: data una successione x definita sull'insieme dei numeri naturali N con valori in C, l'insieme C si definisce insieme compatto se, per definizione, ogni sottosuccessione converge ad un valore appartenente a C. Secondo te (se posso darti del tu!), questa definizione è incompleta?
Intanto grazie e buona serata
(1): ok, ci sono
(2): errore mio! Infatti volevo dire che se C è compatto, allora è un insieme chiuso e limitato. Mi sono espresso male.
Personalmente, nei miei appunti, ho scritto questa definizione per insiemi compatti: data una successione x definita sull'insieme dei numeri naturali N con valori in C, l'insieme C si definisce insieme compatto se, per definizione, ogni sottosuccessione converge ad un valore appartenente a C. Secondo te (se posso darti del tu!), questa definizione è incompleta?
Intanto grazie e buona serata
Non è incompleta. Come ti ha detto billyballo2123, esiste anche un'altra definizione di compattezza data per spazi topologici generici (in cui non hai necessariamente una distanza). Nel caso degli spazi metrici si dimostra che quella definizione è equivalente alla tua.
Se ho capito bene, stai vedendo queste definizioni per la prima volta e probabilmente in corsi di analisi, quindi non è necessario scomodare la definizione per spazi topologici poiché, per ora, lavorerai soltanto su spazi metrici
Se ho capito bene, stai vedendo queste definizioni per la prima volta e probabilmente in corsi di analisi, quindi non è necessario scomodare la definizione per spazi topologici poiché, per ora, lavorerai soltanto su spazi metrici
Scusate ragazzi, ho corretto il mio precedente post: l'insieme C è compatto se, per ogni successione, ammette una sottosuccessione convergente a C.
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